Глава
Теория
Стратегия в алгебре начинается не с вычислений, а с выбора взгляда. Одна и та же задача может выглядеть как система, многочлен, неравенство или задача на делимость; правильная форма резко сокращает решение.
Сумма и произведение подсказывают Виета. Нулевая сумма подсказывает \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Фиксированная сумма в неравенстве подсказывает equality case. Целые числа подсказывают делители и остатки. Функциональные уравнения почти всегда начинаются с \(0\), \(1\), \(x=y\).
Замену делайте, когда повторяются одни и те же комбинации. Разложение ищите, когда есть разность степеней или свободный член. Симметрию используйте, когда переменные входят одинаково. На степень многочлена смотрите, когда даны значения в нескольких точках.
Спросите себя: что сохраняется, если поменять переменные местами? какие значения очевидны? где может быть равенство? какие остатки возможны? Если ответ зависит только от двух комбинаций, уменьшайте число переменных.
Самая частая ошибка — начать раскрывать скобки до распознавания структуры. Вторая ошибка — найти ответ и не проверить его. Третья — использовать сильную теорему там, где достаточно одной подстановки или разложения.
1. Есть ли естественная замена? 2. Есть ли множители? 3. Есть ли симметрия? 4. Важна ли степень многочлена? 5. Где equality case? 6. Есть ли быстрый модульный запрет?
Примеры
Задача. Решите \(x+y=11\), \(x^2+y^2=65\).
Видны \(x+y\) и \(x^2+y^2\), значит ищем \(xy\): \(65=121-2xy\), откуда \(xy=28\). Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-11t+28=0\), то есть \(4\) и \(7\).
Задача. Найдите целые решения \(x^2-y^2=27\).
Разность квадратов даёт \((x-y)(x+y)=27\). Перебор нечётных пар делителей даёт решения \((14,\pm13),(6,\pm3)\) и соответствующие отрицательные по \(x\).
Задача. Если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=14\), \(a^3+b^3+c^3=18\), найдите \(a,b,c\).
Имеем \(ab+bc+ca=-7\), а \(3abc=18\), значит \(abc=6\). Числа — корни \(t^3-7t-6=0=(t-3)(t+1)(t+2)\). Ответ: перестановки \((3,-1,-2)\).
Задача. \(P\) степени не выше \(2\), \(P(0)=2\), \(P(1)=6\), \(P(2)=12\). Найдите \(P(3)\).
Первые разности \(4,6\), вторая разность \(2\), следующая первая разность \(8\). Значит, \(P(3)=20\).
Задача. При \(a+b+c=3\), \(a,b,c>0\), докажите \(ab+bc+ca\le3\).
Равенство ожидается при \(a=b=c=1\). Используем \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), получаем \(9\ge3(ab+bc+ca)\).
Задача. Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) невозможно в целых числах.
Квадрат по модулю \(4\) даёт \(0\) или \(1\), сумма двух квадратов даёт \(0,1,2\), но не \(3\).
Задача. \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2\). Найдите \(f(0)\).
При \(x=y=0\): \(f(0)=2f(0)+2\), значит \(f(0)=-2\).
Задача. \(u_0=2\), \(u_{n+1}-u_n=4n+1\). Найдите \(u_n\).
\(u_n=2+\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1)=2+2n(n-1)+n=2n^2-n+2\).
Задачи
Решите \(x^2-6x+8=0\).
Ищите множители свободного члена.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), поэтому \(x=2\) или \(x=4\).
Найдите минимум \(x^2-2x+3\).
Выделите квадрат.
\(x^2-2x+3=(x-1)^2+2\). Минимум равен \(2\).
Докажите, что \(n^2-n\) чётно для любого целого \(n\).
Разложите на соседние множители.
\(n^2-n=n(n-1)\). Из двух соседних целых одно чётно.
\(f(0)=3\), \(f(n+1)=f(n)+1\). Найдите \(f(4)\).
Сделайте четыре шага.
\(f(4)=3+4=7\).
Найдите \(x,y\), если \(x+y=5\), \(xy=6\).
Считайте их корнями квадратного уравнения.
\(x,y\) — корни \(t^2-5t+6=0\), значит \(\{x,y\}=\{2,3\}\).
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Используйте разложение \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\).
Найдите целые корни \(x^3-3x^2-4x+12\).
Попробуйте группировку.
\(x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)\). Корни \(3,2,-2\).
При \(x>0\) докажите \(x+\frac{9}{x}\ge6\).
Равенство ожидается при \(x=3\).
По AM-GM \(x+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{9}=6\).
\(P\) степени не выше \(2\), \(P(0)=2\), \(P(1)=5\), \(P(2)=10\). Найдите \(P(3)\).
Смотрите на вторые разности.
Первые разности \(3,5\), вторая разность \(2\). Следующая первая разность \(7\), поэтому \(P(3)=17\).
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(5)=20\). Найдите \(f\left(\frac{3}{2}\right)\).
Найдите \(f(1)\).
\(5f(1)=20\), значит \(f(1)=4\). Поэтому \(f(q)=4q\), и \(f\left(\frac{3}{2}\right)=6\).
Решите систему \(x+y+xy=29\), \(x^2+y^2=41\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
\(s+p=29\), \(s^2-2p=41\). Получаем \(s^2+2s-99=0\), откуда \(s=9\) или \(s=-11\). При \(s=9\), \(p=20\), \(\{x,y\}=\{4,5\}\); второй случай не даёт вещественных корней.
Найдите положительные целые \(x,y\), если \((x-4)(y-4)=16\).
Переберите положительные делители \(16\).
\((x-4,y-4)\) равно \((1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)\). Поэтому \((x,y)=(5,20),(6,12),(8,8),(12,6),(20,5)\).
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\).
Сложите знаменатели.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y)+(y+z)+(z+x)}=\frac{x+y+z}{2}\).
\(u_0=1\), \(u_{n+1}-u_n=2n+3\). Найдите \(u_n\).
Просуммируйте разности.
\(u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}(2k+3)=1+n(n-1)+3n=n^2+2n+1=(n+1)^2\).
Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) невозможно в целых числах.
Работайте по модулю \(4\).
Квадраты по модулю \(4\) дают \(0\) или \(1\). Сумма двух квадратов не может дать остаток \(3\).
Многочлен \(P\) удовлетворяет \(P(x+1)-P(x)=2x+1\), \(P(0)=0\). Найдите \(P(n)\) для целых \(n\ge0\).
Просуммируйте равенства от \(0\) до \(n-1\).
\(P(n)-P(0)=\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=n^2\). Значит, \(P(n)=n^2\).
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=3\). Докажите \(a^2+b^2+c^2\ge3\).
Равенство ожидается при \(a=b=c=1\).
По Коши \((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\ge(a+b+c)^2=9\). Значит, \(a^2+b^2+c^2\ge3\).
Найдите все целые решения \(x^2+y^2=2xy+16\).
Перенесите \(2xy\) влево.
\((x-y)^2=16\), значит \(x-y=\pm4\). Все решения: \((t+4,t)\) и \((t,t+4)\), где \(t\in\mathbb Z\).
Докажите, что \(x^2+y^2=7xy\) не имеет положительных целых решений.
Выберите минимальное решение и замените больший корень вторым корнем квадратного уравнения.
Пусть решение есть, \(x\ge y\), и сумма \(x+y\) минимальна. \(x=y\) невозможно. Рассмотрим \(X^2-7yX+y^2=0\). Второй корень \(x'=7y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Тогда \((x',y)\) — меньшее положительное решение. Противоречие.
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=14\), \(a^3+b^3+c^3=18\).
Найдите \(ab+bc+ca\) и \(abc\), затем составьте многочлен.
Из первых двух условий \(ab+bc+ca=-7\). По тождеству нулевой суммы \(3abc=18\), значит \(abc=6\). Тогда \(a,b,c\) — корни \(t^3-7t-6=0=(t-3)(t+1)(t+2)\). Ответ: все перестановки \((3,-1,-2)\).
Лестницы