Задача
ALG-B1-M11-P019 Спуск
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что \(x^2+y^2=7xy\) не имеет положительных целых решений.
Выберите минимальное решение и замените больший корень вторым корнем квадратного уравнения.
Пусть решение есть, \(x\ge y\), и сумма \(x+y\) минимальна. \(x=y\) невозможно. Рассмотрим \(X^2-7yX+y^2=0\). Второй корень \(x'=7y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Тогда \((x',y)\) — меньшее положительное решение. Противоречие.
Стратегия: Виета-спуск как выбор нестандартного метода.