Глава
Теория
В смешанном модуле метод заранее не назван. Ученик должен распознать форму задачи: где нужно разложение, где замена суммы и произведения, где модуль, где неравенство, а где функциональное уравнение или рекурсия.
Главная стратегия — сначала искать структуру, а не вычислять. Хорошая первая минута решения: проверить симметрию, целочисленность, возможность выделить квадрат, наличие \(x+y\), \(xy\), \(f(0)\), \(f(1)\), фиксированной суммы или произведения.
Симметричная система с двумя переменными часто сводится к \(s=x+y\), \(p=xy\). Разность квадратов даёт \((x-y)(x+y)\). Для целых корней монического многочлена сначала проверяют делители свободного члена. Для неравенств полезны \((a-b)^2\ge0\), AM-GM и Коши.
В функциональных уравнениях сначала подставляют специальные значения. В последовательностях стоит искать конечные разности, телескопирование или явную формулу по первым членам.
Если задача просит «найдите все», нужен механизм, ограничивающий варианты. Если задача просит «докажите», полезно искать тождество или неотрицательную форму. Если задача выглядит громоздко, попробуйте заменить переменные на более устойчивые выражения.
Целые числа подсказывают делимость и остатки. Квадратичные выражения подсказывают полный квадрат или Виета. Положительные переменные с фиксированной суммой подсказывают AM-GM или Коши. Уравнение с \(f(x+y)\) почти всегда начинается с \(x=0\) или \(y=0\).
В смешанных задачах легко начать применять любимый метод без проверки. Не стоит раскрывать всё подряд, если можно сохранить множители. Не забывайте проверять найденные ответы в исходном условии, особенно в задачах с параметрами и целыми числами.
1. Есть ли симметрия? 2. Есть ли целочисленность или модульный запрет? 3. Можно ли выделить квадрат? 4. Есть ли естественная замена? 5. Проверены ли все случаи равенства, знаки и отрицательные решения?
Примеры
Задача. Решите систему \(x+y+xy=19\), \(x^2+y^2=25\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(s+p=19\), \(s^2-2p=25\). Из \(p=19-s\) получаем \(s^2+2s-63=0\), значит \(s=7\) или \(s=-9\). При \(s=7\), \(p=12\), корни \(3\) и \(4\). При \(s=-9\), \(p=28\), дискриминант отрицателен. Ответ: \((3,4),(4,3)\).
Задача. Докажите, что \(n^3+3n^2+2n\) делится на \(6\).
Разложим: \(n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\). Это произведение трёх последовательных целых чисел, значит оно делится на \(6\).
Задача. При каких целых \(a\) многочлен \(x^2+ax+18\) имеет целые корни?
Пусть корни \(r,s\). Тогда \(rs=18\), \(r+s=-a\). Возможные суммы пар множителей \(18\): \(\pm19,\pm11,\pm9\). Значит, \(a\in\{-19,-11,-9,9,11,19\}\).
Задача. Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \(\frac{x^2}{2x+y}+\frac{y^2}{2y+z}+\frac{z^2}{2z+x}\ge\frac{x+y+z}{3}\).
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(2x+y)+(2y+z)+(2z+x)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}\).
Задача. Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\), \(f(1)=2\). Найдите \(f(n)\).
Положим \(g(n)=f(n)-n^2\). Тогда \(g(m+n)=g(m)+g(n)\), а \(g(1)=1\). Следовательно, \(g(n)=n\), и \(f(n)=n^2+n\).
Задача. Докажите, что \(x^2+y^2+z^2=8k+7\) не имеет целых решений.
Квадрат по модулю \(8\) даёт \(0,1,4\). Сумма трёх таких остатков не может быть равна \(7\) по модулю \(8\). Но правая часть сравнима с \(7\). Противоречие.
Задача. \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). Докажите, что \(u_n=2^{n+1}-1\).
Проверка для \(n=0,1\) верна. Если формула верна для \(n,n+1\), то \(u_{n+2}=3(2^{n+2}-1)-2(2^{n+1}-1)=2^{n+3}-1\). Индукция завершена.
Задача. Найдите все целые \(n\), при которых \(n^4+4\) — простое число.
Используем разложение Софи Жермен: \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\). При \(|n|>1\) оба множителя больше \(1\), значит число составное. При \(n=1\) и \(n=-1\) получаем \(5\), простое. При \(n=0\) получаем \(4\). Ответ: \(n=\pm1\).
Задачи
Найдите наименьшее значение \(x^2-10x+29\).
Выделите полный квадрат.
\(x^2-10x+29=(x-5)^2+4\). Минимум равен \(4\), достигается при \(x=5\).
Решите систему \(x+y=8\), \(xy=15\).
Считайте \(x,y\) корнями квадратного уравнения.
\(x,y\) — корни \(t^2-8t+15=0=(t-3)(t-5)\). Ответ: \((3,5),(5,3)\).
Докажите, что \(n(n+1)(n+2)\) делится на \(6\) при любом целом \(n\).
Среди трёх последовательных чисел есть кратное \(3\) и чётное.
В трёх последовательных целых одно делится на \(3\), а одно на \(2\). Поэтому произведение делится на \(2\cdot3=6\).
Пусть \(f(0)=5\) и \(f(n+1)=f(n)+2\) для \(n\ge0\). Найдите \(f(4)\).
Сделайте четыре перехода.
\(f(1)=7\), \(f(2)=9\), \(f(3)=11\), \(f(4)=13\).
При \(x>0\) докажите \(x+\frac{4}{x}\ge4\).
Примените AM-GM к \(x\) и \(\frac{4}{x}\).
\(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4\). Равенство при \(x=2\).
Решите систему \(x+y+xy=19\), \(x^2+y^2=25\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
Получаем \(s+p=19\), \(s^2-2p=25\). Тогда \(s^2+2s-63=0\), откуда \(s=7\) или \(s=-9\). При \(s=7\), \(p=12\), имеем \(\{x,y\}=\{3,4\}\). При \(s=-9\), \(p=28\), реальных корней нет. Ответ: \((3,4),(4,3)\).
Найдите все целые \(a\), при которых \(x^2+ax+18\) имеет целые корни.
Используйте произведение корней \(18\).
Пусть корни \(r,s\). Тогда \(rs=18\), \(r+s=-a\). Возможные суммы пар множителей: \(\pm19,\pm11,\pm9\). Поэтому \(a\in\{-19,-11,-9,9,11,19\}\).
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Используйте тождество для суммы кубов.
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\). Значит, \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Найдите все линейные функции \(f(x)=ax+b\), для которых \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3\).
Подставьте \(ax+b\).
\(a(x+y)+b=ax+b+ay+b+3\). Свободные члены дают \(b=2b+3\), значит \(b=-3\), а \(a\) произвольно. Ответ: \(f(x)=ax-3\).
Пусть \(u_0=0\), \(u_{n+1}=u_n+3n+1\). Найдите \(u_n\).
Просуммируйте \(3k+1\) от \(0\) до \(n-1\).
\(u_n=\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)=3\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{3n^2-n}{2}\).
Найдите все целые решения \(x^2-y^2=35\).
Разложите на \((x-y)(x+y)\) и учитывайте порядок множителей.
Пусть \(u=x-y\), \(v=x+y\). Тогда \(uv=35\), \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{v-u}{2}\). Оба множителя нечётны, поэтому все пары делителей подходят. Для \((u,v)=(1,35),(35,1),(5,7),(7,5)\) и соответствующих отрицательных пар получаем \((18,17),(18,-17),(6,1),(6,-1),(-18,-17),(-18,17),(-6,-1),(-6,1)\).
Многочлен \(P(x)\) степени не выше \(2\) удовлетворяет \(P(0)=1\), \(P(1)=3\), \(P(2)=7\). Найдите \(P(3)\).
Для квадратичного многочлена вторые разности постоянны.
Первые разности: \(2\) и \(4\), значит вторая разность равна \(2\). Следующая первая разность равна \(6\). Поэтому \(P(3)=7+6=13\).
Найдите положительные целые решения \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\).
Преобразуйте к \((x-8)(y-8)=64\).
Из \(8x+8y=xy\) получаем \((x-8)(y-8)=64\). Положительные делители \(64\): \(1,2,4,8,16,32,64\). Значит, решения: \((9,72),(10,40),(12,24),(16,16)\) и симметричные пары.
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(3)=12\). Найдите \(f\left(\frac{5}{2}\right)\).
Сначала найдите \(f(1)\).
\(f(3)=3f(1)=12\), значит \(f(1)=4\). Тогда \(f(q)=4q\) для рациональных \(q\), поэтому \(f\left(\frac{5}{2}\right)=10\).
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите, что \(ab+bc+ca\le3\).
Используйте \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge3(ab+bc+ca)\). Так как \(a+b+c=3\), имеем \(9\ge3(ab+bc+ca)\), то есть \(ab+bc+ca\le3\).
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=8\), \(a^3+b^3+c^3=0\).
Используйте \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Из нулевой суммы \(a^3+b^3+c^3=3abc\), значит \(abc=0\). Также \(ab+bc+ca=-4\). Пусть один из чисел равен \(0\), например \(c=0\). Тогда \(a+b=0\), \(a^2+b^2=8\), откуда \(a=\pm2\), \(b=\mp2\). Все решения — перестановки \((2,-2,0)\).
Найдите все целые тройки \((x,y,z)\), для которых \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+3\).
Умножьте на \(2\) и используйте сумму квадратов разностей.
Получаем \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=6\). Квадраты целых чисел должны быть \(1,1,4\). Поэтому разности равны \(1,1,-2\) с точностью до знаков и порядка. Значит, тройка состоит из трёх последовательных целых чисел. Все решения — перестановки \((t-1,t,t+1)\), \(t\in\mathbb Z\).
Найдите все пары целых \((a,b)\), для которых многочлен \(x^2+ax+b\) имеет два целых корня, отличающихся на \(1\).
Пусть корни \(n\) и \(n+1\).
Пусть корни \(n\) и \(n+1\), где \(n\in\mathbb Z\). По Виета \(a=-(2n+1)\), \(b=n(n+1)\). И наоборот, при таких \(a,b\) многочлен равен \((x-n)(x-n-1)\). Ответ: \((a,b)=(-(2n+1),n(n+1))\), \(n\in\mathbb Z\).
Пусть \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). Докажите, что \(u_n=2^{n+1}-1\).
Проверьте базу и сделайте индукционный переход.
Для \(n=0,1\) формула верна. Если \(u_n=2^{n+1}-1\) и \(u_{n+1}=2^{n+2}-1\), то \(u_{n+2}=3(2^{n+2}-1)-2(2^{n+1}-1)=2^{n+3}-1\). Формула доказана.
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[\frac{x^2}{2x+y}+\frac{y^2}{2y+z}+\frac{z^2}{2z+x}\ge\frac{x+y+z}{3}.\]
Сложите знаменатели и примените Коши.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}\).
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\), \(f(1)=2\). Найдите \(f(n)\).
Вычтите \(n^2\).
Пусть \(g(n)=f(n)-n^2\). Тогда \(g(m+n)=g(m)+g(n)\), а \(g(1)=1\). Значит, \(g(n)=n\), и \(f(n)=n^2+n\).
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2+z^2=8k+7\) не имеет целых решений.
Квадраты по модулю \(8\) равны \(0,1,4\).
Возможные остатки квадратов по модулю \(8\): \(0,1,4\). Сумма трёх таких остатков не равна \(7\) по модулю \(8\) ни при каком выборе. Правая часть сравнима с \(7\), противоречие.
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=6xy\) не имеет положительных целых решений.
Выберите решение с минимальной суммой и рассмотрите уравнение как квадратное относительно большей переменной.
Пусть положительное решение существует, и выберем решение с минимальным \(x+y\). Пусть \(x>y\). Как квадратное относительно \(x\), уравнение имеет вид \(X^2-6yX+y^2=0\). Второй корень \(x'=6y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Тогда \((x',y)\) — меньшее положительное решение, противоречие.
Найдите все целые \(n\), при которых \(n^4+4\) является простым числом.
Используйте разложение \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\).
Имеем \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\). При \(|n|>1\) оба множителя больше \(1\), значит число составное. При \(n=0\) получаем \(4\). При \(n=1\) и \(n=-1\) получаем \(5\), простое. Ответ: \(n=\pm1\).
Лестницы