Задача
ALG-B1-M11-P020 Симметрические суммы
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=14\), \(a^3+b^3+c^3=18\).
Найдите \(ab+bc+ca\) и \(abc\), затем составьте многочлен.
Из первых двух условий \(ab+bc+ca=-7\). По тождеству нулевой суммы \(3abc=18\), значит \(abc=6\). Тогда \(a,b,c\) — корни \(t^3-7t-6=0=(t-3)(t+1)(t+2)\). Ответ: все перестановки \((3,-1,-2)\).
Стратегия: симметрия переводит тройку в корни многочлена.