Курс

Теория чисел. Книга 1

Book 1. Introduction to Olympiad Number Theory

  • 1. Делимость и разложение на простые множители
  • 2. НОД, НОК и алгоритм Евклида
  • 3. Модульная арифметика I: остатки и противоречия
  • 4. Модульная арифметика II: линейные сравнения и системы
  • 5. Диофантовы уравнения I: факторизация и оценки
  • 6. Бесконечный спуск I
  • 7. Ферма, Эйлер и циклы степеней
  • 8. Китайская теорема об остатках
  • 9. Подсчет делителей
  • 10. Цифры, системы счисления и периодичность
  • 11. Смешанные задачи I
  • 12. Пробные олимпиады I
Войдите, чтобы сохранять решённые и закладки.
Теория Примеры Практика Лестницы

Главы

Главы

Глава

Делимость и разложение на простые множители

Модуль вводит точный язык делимости, простые числа, разложение на множители, подсчет делителей и первые олимпиадные приемы: последовательные числа, параметры и факториальные конструкции.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

НОД, НОК и алгоритм Евклида

Модуль усиливает вычислительный НОД до олимпиадного инструмента: алгоритм Евклида, линейные комбинации, НОД выражений, связь НОД и НОК, взаимная простота и числа вида \(a^m-1\).
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Модульная арифметика

Остатки, сравнения, действия по модулю, циклы степеней и противоречия по модулю.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Модульная арифметика I: остатки и противоречия

Модуль учит использовать остатки как инструмент доказательства невозможности: таблицы квадратов и кубов, выбор модуля, последние цифры и первые модульные противоречия.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Сравнения и остатки

Классы остатков, линейные сравнения, совместимые остатки и олимпиадные рассуждения по модулю.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Модульная арифметика II: линейные сравнения и системы

Модуль учит решать линейные сравнения, работать с обратными элементами, понимать когда можно делить, проверять совместимость систем и строить числа с заданными остатками.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Диофантовы уравнения

Целые решения, линейные диофантовы уравнения, факторизация, препятствия по модулю и ограничения на положительность.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Диофантовы уравнения I: факторизация и оценки

Модуль учит решать первые диофантовы уравнения олимпиадного типа: линейные уравнения, дополнение до произведения, разность квадратов, уравнения с обратными величинами, модульные запреты и оценки.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Бесконечный спуск

Бесконечный спуск, леммы о чётности, минимальные контрпримеры, примитивные решения и противоречие через меньшее решение.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Бесконечный спуск I

Модуль вводит бесконечный спуск: минимальный контрпример, спуск по четности и простому делителю, иррациональность квадратных корней, модульные запреты, примитивные решения и первый preview Vieta-descent.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Ферма и Эйлер

Малая теорема Ферма, функция Эйлера, теорема Эйлера, обратные элементы и вычисления больших степеней по модулю.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Ферма, Эйлер и циклы степеней

Модуль учит работать с большими степенями по модулю: короткие циклы, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, порядок элемента, обратные элементы и первые ограничения на простые делители степенных выражений.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Китайская теорема об остатках

Модуль развивает CRT как метод решения систем сравнений и как инструмент олимпиадного построения: совместимость, не взаимно простые модули, сдвиги, блоки составных чисел и конструкции по заданным делителям.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Подсчёт делителей и специальные числа

Подсчёт делителей через разложение на простые множители, свободные от квадратов делители, произведение делителей, показатели в факториалах и специальные числовые структуры.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Подсчет делителей

Модуль развивает формулу количества делителей, нечетные делители, критерий квадрата, обратные задачи по \( au(n)\), произведение делителей и минимальные числа с заданным количеством делителей.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Системы счисления

Перевод между системами счисления, арифметика в недесятичных базах, двоичная запись, подсчёт цифр и конечные нули в других базах.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Цифры, системы счисления и периодичность

Модуль переводит задачи о цифрах в язык сравнений: признаки делимости, последние цифры, запись в основании \(b\), репьюниты, периоды десятичных дробей и первые конструкции чисел с ограниченными цифрами.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Дроби, десятичная запись и периодичность

Конечные десятичные дроби, периодические дроби, длина периода и структура десятичной записи дробей.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Смешанные задачи I

Модуль тренирует выбор метода без заранее объявленной темы: делимость, НОД, сравнения, факторизация, диофантовы уравнения, периоды, CRT, спуск и конструкции.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Правила делимости

Признаки делимости, доказательства правил через сравнения, задачи на неизвестные цифры и рассуждения по последним цифрам.

0 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Пробные олимпиады I

Финальный модуль первой книги по теории чисел: тренировочные задачи без подсказанного метода, имитирующие короткие олимпиадные варианты и закрепляющие выбор стратегии.
24 Задачи
Теория Примеры Практика