#17 Цифры, системы счисления и периодичность

Сумма цифр равна \(7+3+4+5+8+2+1=30\). Так как \(30\equiv3\pmod9\), то и исходное число даёт остаток \(3\).

Справа налево получаем \(4-3+7-2+8-1+9=22\). Число \(22\) делится на \(11\), значит \(9182734\) делится на \(11\).

Последние цифры: \(3,9,7,1\), затем цикл повторяется. Так как \(2026\equiv2\pmod4\), последняя цифра равна \(9\).

Имеем \((341)_b=3b^2+4b+1\).

Так как \(1111=1+10+10^2+10^3\), то \(1111=\frac{10^4-1}{9}\).

Сумма цифр равна \(5+2+x+4+7=18+x\). Это делится на \(9\) тогда и только тогда, когда \(x=0\) или \(x=9\).

Имеем \(5-1+9-x+3-6=10-x\). Нужно \(10-x\equiv0\pmod{11}\). Так как \(x\) — цифра, получаем \(x=10\) невозможно, а \(10-x=0\) даёт \(x=10\) тоже невозможно. Но \(10-x\) может быть \(-1\) при \(x=11\) невозможно. Значит такой цифры нет.

Имеем \(9^1\equiv9\), \(9^2\equiv81\), \(9^3\equiv29\), \(9^4\equiv61\), \(9^5\equiv49\), \(9^{10}\equiv1\pmod{100}\). Так как \(37\equiv7\pmod{10}\), \(9^{37}\equiv9^7\equiv69\pmod{100}\). Последние две цифры: \(69\).

Нужно \(3b+4\equiv0\pmod5\), то есть \(3b\equiv1\pmod5\). Так как обратный к \(3\) по модулю \(5\) равен \(2\), получаем \(b\equiv2\pmod5\). С учётом \(b>4\): \(b=5t+2\), \(t\ge1\).

Имеем \(10^2\equiv100\equiv9\pmod{13}\), \(10^3\equiv12\), \(10^4\equiv3\), \(10^5\equiv4\), \(10^6\equiv1\pmod{13}\). Меньшие степени не дают \(1\), поэтому период равен \(6\).

Так как \(10^3=1000\equiv1\pmod{37}\), имеем \(10^6\equiv1\pmod{37}\). Значит, \(37\mid 10^6-1\). Число \(9\) взаимно просто с \(37\), поэтому из \(R_6=\frac{10^6-1}{9}\) следует \(37\mid R_6\).

Каждое из двух чисел сравнимо со своей суммой цифр по модулю \(9\). Суммы цифр одинаковы, значит числа сравнимы между собой по модулю \(9\). Следовательно, их разность делится на \(9\).

Пусть цифры палиндрома симметричны. Так как число цифр чётно, каждая пара равных симметричных цифр попадает в чередующуюся сумму с противоположными знаками. Поэтому вся чередующаяся сумма равна \(0\), а число делится на \(11\).

Имеем \(10^3=1000\equiv1\pmod{37}\), а \(10 ot\equiv1\), \(10^2\equiv26 ot\equiv1\pmod{37}\). Порядок \(10\) по модулю \(37\) равен \(3\). Поэтому \(37\mid R_n\) тогда и только тогда, когда \(3\mid n\).

Так как \(6\mid6n\), имеем \(R_6\mid R_{6n}\). Но \(R_6=111111=111\cdot1001\), а \(1001=7\cdot11\cdot13\). Значит, \(R_{6n}\) делится на \(7\), \(11\) и \(13\).

Так как \(3^{20}\equiv1\pmod{100}\) и \(7^{20}\equiv1\pmod{100}\), а \(2026\equiv6\pmod{20}\), получаем \(3^{2026}\equiv3^6\equiv29\) и \(7^{2026}\equiv7^6\equiv49\pmod{100}\). Сумма даёт \(78\).

Проверка остатков \(b=0,1,\ldots,12\) даёт решения \(b\equiv1\) и \(b\equiv3\pmod{13}\). С учётом \(b>5\) получаем \(b=13t+1\) при \(t\ge1\) или \(b=13t+3\) при \(t\ge1\).

Имеем \(10^1\equiv10\), \(10^2\equiv100\equiv19\), \(10^3\equiv190\equiv1\pmod{27}\). Меньшие положительные степени не дают \(1\), значит период равен \(3\).

Так как \(31\) взаимно просто с \(9\), условие \(31\mid R_n\) эквивалентно \(10^n\equiv1\pmod{31}\). Вычисления дают \(10^5\equiv25\), \(10^{15}\equiv1\pmod{31}\), и меньшие делители \(1,3,5\) числа \(15\) не дают \(1\). Поэтому порядок равен \(15\), а значит \(31\mid R_n\) тогда и только тогда, когда \(15\mid n\).

Числа \(N\) и \(M\) имеют одинаковую сумму цифр, следовательно, они сравнимы по модулю \(9\). Поэтому \(N-M\equiv0\pmod9\), то есть \(9\mid N-M\).

Если среди \(R_1,\ldots,R_m\) есть число, делящееся на \(m\), всё доказано. Иначе два остатка совпадают: \(R_i\equiv R_j\pmod m\), \(i

Число из девяток всегда нечётно и оканчивается на \(9\), поэтому не делится на \(2\) или \(5\). Значит исходное утверждение неверно. Исправленное утверждение: если \(\gcd(m,10)=1\), то такое число существует. Действительно, по предыдущей конструкции существует \(R_n\), делящееся на \(m\); тогда \(9R_n\) состоит только из девяток и тоже делится на \(m\).

Так как \(10^a\equiv1\pmod{R_a}\), при \(b=qa+r\) получаем \(10^b\equiv10^r\pmod{R_a}\). Из \(R_a\mid R_b\) следует \(10^b-1\equiv0\pmod{R_a}\), значит \(10^r\equiv1\pmod{R_a}\). Если \(0

Имеем \(2026=2\cdot1013\), причём \(\gcd(1013,10)=1\). По задаче о репьюнитах существует \(R_n\), делящееся на \(1013\). Тогда число \(10R_n\) получается добавлением нуля справа к числу из единиц, поэтому состоит только из цифр \(0\) и \(1\). Оно делится на \(10\), значит на \(2\), и делится на \(1013\). Следовательно, оно делится на \(2026\).