Практика
Найдите остаток числа \(2026\) при делении на \(7\).
Вычтите ближайшее кратное \(7\).
\(7\cdot289=2023\), поэтому \(2026=7\cdot289+3\). Остаток равен \(3\).
Докажите, что квадрат целого числа по модулю \(4\) может иметь только остаток \(0\) или \(1\).
Проверьте четное и нечетное число.
Если \(n=2k\), то \(n^2=4k^2\equiv0\pmod4\). Если \(n=2k+1\), то \(n^2=4k^2+4k+1\equiv1\pmod4\).
Составьте таблицу квадратов по модулю \(8\).
Достаточно проверить остатки \(0,1,\ldots,7\).
Квадраты остатков \(0,1,2,3,4,5,6,7\) по модулю \(8\) равны \(0,1,4,1,0,1,4,1\). Значит, возможны только \(0,1,4\).
Найдите последнюю цифру числа \(3^{2025}\).
Посмотрите цикл последних цифр степеней \(3\).
Последние цифры степеней \(3\): \(3,9,7,1\), цикл длины \(4\). Так как \(2025\equiv1\pmod4\), последняя цифра равна \(3\).
Найдите все остатки \(n\pmod5\), для которых \(n^2\equiv1\pmod5\).
Проверьте остатки \(0,1,2,3,4\).
Квадраты по модулю \(5\): \(0^2\equiv0\), \(1^2\equiv1\), \(2^2\equiv4\), \(3^2\equiv4\), \(4^2\equiv1\). Подходят \(n\equiv1\) и \(n\equiv4\pmod5\).
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=4z+3\) не имеет решений в целых числах.
Рассмотрите уравнение по модулю \(4\).
Квадрат по модулю \(4\) равен \(0\) или \(1\). Поэтому \(x^2+y^2\) может иметь остаток \(0,1,2\), но не \(3\). Правая часть имеет остаток \(3\). Противоречие.
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=8z+7\) не имеет решений в целых числах.
Используйте квадраты по модулю \(8\).
Квадраты по модулю \(8\): \(0,1,4\). Сумма двух таких остатков может быть \(0,1,2,4,5\), но не \(7\). Правая часть дает остаток \(7\). Противоречие.
Найдите все целые \(n\), для которых \(7\mid n^2+n+1\).
Проверьте \(n=0,1,\ldots,6\) по модулю \(7\).
Таблица значений \(n^2+n+1\) по модулю \(7\) для \(n=0,1,2,3,4,5,6\): \(1,3,0,6,0,3,1\). Поэтому \(n\equiv2\) или \(n\equiv4\pmod7\).
Докажите, что ни один квадрат целого числа не имеет остаток \(2\) или \(3\) при делении на \(4\).
Используйте таблицу квадратов по модулю \(4\).
Любой квадрат по модулю \(4\) равен \(0\) или \(1\). Остатки \(2\) и \(3\) не появляются, значит, квадрат не может иметь такие остатки.
Найдите последнюю цифру числа \(7^{2026}\).
Цикл последних цифр степеней \(7\) имеет длину \(4\).
Цикл: \(7,9,3,1\). Так как \(2026\equiv2\pmod4\), берем вторую цифру цикла. Ответ: \(9\).
Докажите с помощью сравнений, что \(n^2+n\) четно для любого целого \(n\).
Проверьте остатки \(n\) по модулю \(2\).
Если \(n\equiv0\pmod2\), то \(n^2+n\equiv0\). Если \(n\equiv1\pmod2\), то \(n^2+n\equiv1+1\equiv0\pmod2\). Значит, выражение всегда четно.
Докажите, что сумма трех кубов целых чисел не может иметь остаток \(4\) или \(5\) при делении на \(9\).
Куб по модулю \(9\) равен \(0\), \(1\) или \(-1\).
Каждый куб по модулю \(9\) равен \(0,\pm1\). Сумма трех таких остатков лежит среди \(-3,-2,-1,0,1,2,3\), то есть по модулю \(9\) среди \(6,7,8,0,1,2,3\). Остатков \(4\) и \(5\) нет.
Докажите, что число вида \(8t+7\) нельзя представить в виде суммы трех квадратов целых чисел.
Квадраты по модулю \(8\): \(0,1,4\). Проверьте суммы трех таких остатков.
Квадрат по модулю \(8\) равен \(0,1\) или \(4\). Сумма трех таких остатков может дать \(0,1,2,3,4,5,6\), но не \(7\). Поэтому сумма трех квадратов не может быть сравнима с \(7\) по модулю \(8\). Число \(8t+7\) как раз имеет остаток \(7\). Противоречие.
Докажите, что уравнение \(x^2=3y^2+2\) не имеет решений в целых числах.
Рассмотрите уравнение по модулю \(3\).
Правая часть \(3y^2+2\equiv2\pmod3\). Но квадрат по модулю \(3\) равен только \(0\) или \(1\). Значит, левая часть не может иметь остаток \(2\). Противоречие.
Докажите: если \(3\mid x^2+y^2\), то \(3\mid x\) и \(3\mid y\).
Квадраты по модулю \(3\) равны \(0\) или \(1\).
Если число не делится на \(3\), его квадрат имеет остаток \(1\) по модулю \(3\). Если хотя бы одно из \(x,y\) не делится на \(3\), сумма квадратов имеет остаток \(1\) или \(2\), но не \(0\), кроме случая когда оба квадрата дают \(0\). Поэтому \(x\) и \(y\) оба делятся на \(3\).
Найдите все целые \(n\), для которых \(13\mid n^2+n+1\).
Проверьте остатки \(0,1,\ldots,12\) или используйте симметрию \(n\) и \(-1-n\).
Проверка остатков по модулю \(13\) дает нули только при \(n\equiv3\) и \(n\equiv9\). Действительно, \(3^2+3+1=13\), \(9^2+9+1=91=7\cdot13\). Другие остатки дают ненулевые значения. Ответ: \(n\equiv3\) или \(9\pmod{13}\).
Докажите, что \(n^2+n+1\) не делится на \(11\) ни при каком целом \(n\).
Проверьте все остатки \(n\pmod{11}\).
Для \(n=0,1,\ldots,10\) значения \(n^2+n+1\) по модулю \(11\) равны \(1,3,7,2,10,9,10,2,7,3,1\). Нуля среди них нет, значит, делимость на \(11\) невозможна.
Докажите, что уравнение \(x^4+y^4=16z+15\) не имеет решений в целых числах.
Четвертая степень по модулю \(16\) равна \(0\) или \(1\).
Если \(x\) четно, то \(x^4\equiv0\pmod{16}\); если \(x\) нечетно, то \(x^2\equiv1\) или \(9\pmod{16}\), а \(x^4\equiv1\pmod{16}\). Значит, \(x^4+y^4\) может иметь остаток \(0,1,2\), но не \(15\). Правая часть имеет остаток \(15\). Противоречие.
Докажите, что сравнение \(x^3\equiv2\pmod7\) не имеет решений.
Составьте таблицу кубов по модулю \(7\).
Для остатков \(0,1,2,3,4,5,6\) кубы по модулю \(7\) равны \(0,1,1,6,1,6,6\). Возможны только \(0,1,6\). Остатка \(2\) нет, значит, решений нет.
Найдите последние две цифры числа \(3^{20}\).
Работайте по модулю \(100\). Заметьте, что \(3^4=81\).
\(3^{20}=(3^4)^5=81^5\). По модулю \(100\): \(81^2\equiv61\), \(81^4\equiv61^2\equiv21\), \(81^5\equiv21\cdot81\equiv1\). Значит, последние две цифры: \(01\).
Докажите, что единственное целочисленное решение уравнения \(x^2+y^2=3z^2\) - это \(x=y=z=0\).
Сначала докажите, что из делимости \(x^2+y^2\) на \(3\) следует \(3\mid x\) и \(3\mid y\).
Из уравнения следует \(3\mid x^2+y^2\). По таблице квадратов modulo \(3\) получаем \(3\mid x\) и \(3\mid y\). Пусть \(x=3x_1\), \(y=3y_1\). Тогда \(9x_1^2+9y_1^2=3z^2\), значит, \(z^2=3(x_1^2+y_1^2)\), и \(3\mid z\). Получаем, что все \(x,y,z\) делятся на \(3\). Если есть ненулевое решение, можно делить все три числа на \(3\) бесконечно, что невозможно для ненулевых целых чисел. Значит, ненулевых решений нет.
Докажите, что уравнение \(x^2-5y^2=2\) не имеет решений в целых числах.
Рассмотрите уравнение по модулю \(5\).
По модулю \(5\) получаем \(x^2\equiv2\pmod5\). Но квадраты по модулю \(5\) равны только \(0,1,4\). Остаток \(2\) невозможен. Значит, решений нет.
Докажите: если \(7\mid x^2+y^2\), то \(7\mid x\) и \(7\mid y\).
Квадраты по модулю \(7\): \(0,1,2,4\).
Квадратичные остатки по модулю \(7\): \(0,1,2,4\). Чтобы сумма двух таких остатков была \(0\), возможен только вариант \(0+0\): числа \(1,2,4\) имеют противоположные остатки \(6,5,3\), которые квадратами не являются. Значит, \(x^2\equiv0\) и \(y^2\equiv0\pmod7\), откуда \(7\mid x\) и \(7\mid y\).
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы трех квадратов целых чисел.
Рассмотрите числа вида \(8t+7\).
Из задачи о трех квадратах по модулю \(8\) следует: сумма трех квадратов не может иметь остаток \(7\) по модулю \(8\). Поэтому ни одно число вида \(8t+7\) не представляется в виде \(x^2+y^2+z^2\). Таких натуральных чисел бесконечно много: \(7,15,23,31,\ldots\). Следовательно, требуемых чисел бесконечно много.