Глава
Правила делимости
Признаки делимости, доказательства правил через сравнения, задачи на неизвестные цифры и рассуждения по последним цифрам.
Теория
1. Сумма цифр
Так как \(10\equiv1\pmod9\), любое десятичное число имеет тот же остаток по модулю \(9\), что и сумма его цифр.
2. Последние цифры
По модулям \(2,4,5,8,10\) важны только последние несколько цифр.
3. Признак делимости на 11
Так как \(10\equiv-1\pmod{11}\), делимость на \(11\) определяется знакопеременной суммой цифр.
Примеры
Пример 1. Почему работает признак делимости на 9
Это главное доказательство признаков через сумму цифр.
Задача.
Докажите, что десятичное число имеет тот же остаток по модулю \(9\), что и сумма его цифр.
Решение.
Если \(n=a_k10^k+\cdots+a_0\), то \(10^j\equiv1\pmod9\). Поэтому \(n\equiv a_k+\cdots+a_0\pmod9\).
Пример 2. Неизвестная цифра
Задача совмещает два признака делимости.
Задача.
Найдите все цифры \(A\), при которых число \(52A8\) делится и на \(3\), и на \(4\).
Решение.
Для делимости на \(4\): \(10A+8\equiv2A\pmod4\), значит \(A\) чётна. Для делимости на \(3\): \(15+A\) делится на \(3\), значит \(A\in\{0,3,6,9\}\). Поэтому \(A=0\) или \(6\).
Пример 3. Цифры для делимости на 11 и 5
Это задача на неизвестные цифры с признаком делимости на 11.
Задача.
Найдите все цифры \(A,B\), при которых число \(3A5B\) делится и на \(11\), и на \(5\).
Решение.
Для делимости на \(11\) число \(8-A-B\) должно делиться на \(11\). Если \(B=0\), то \(A=8\). Если \(B=5\), то \(A=3\). Получаем \(3850\) и \(3355\).
Пример 4. Делимость на 72
Это компактная задача на совмещение нескольких признаков.
Задача.
Найдите все пары цифр \(A,B\), при которых число \(72A4B\) делится на \(72\).
Решение.
Нужна делимость на \(8\) и \(9\). Проверяя последние три цифры \(A4B\) и сумму \(13+A+B\), получаем пары \((1,4)\) и \((6,8)\). Подходят \(72144\) и \(72648\).
Задачи
Задачи
Пока нет опубликованных задач.
Лестницы
Опубликованных лестниц пока нет.