#15 Подсчет делителей

\(84=2^2\cdot3\cdot7\). Поэтому \(\tau(84)=(2+1)(1+1)(1+1)=12\).

\(144=2^4\cdot3^2\). Тогда \(\tau(144)=(4+1)(2+1)=15\).

Показатель при \(2\) можно выбрать \(6\) способами, при \(3\) - \(4\) способами. Итого \(6\cdot4=24\) делителя.

Каждый положительный делитель \(p^a\) имеет вид \(p^k\), где \(k=0,1,\ldots,a\). Таких значений \(k\) ровно \(a+1\). Поэтому делителей \(a+1\).

Нечетный делитель не содержит \(2\), поэтому он может быть только \(1\) или \(3\). Ответ: \(2\) нечетных делителя.

\(\tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot3\cdot2=24\).

\(1000=2^3\cdot5^3\). Поэтому \(\tau(1000)=(3+1)(3+1)=16\).

\(720=2^4\cdot3^2\cdot5\). Нечетная часть \(3^2\cdot5\), поэтому число нечетных делителей равно \((2+1)(1+1)=6\).

\(225=15^2\) является квадратом. У квадрата число положительных делителей нечетно, потому что делитель \(\sqrt{225}=15\) остается без пары. Значит, \(\tau(225)\) нечетно.

Кандидаты: \(2^7=128\), \(2^3\cdot3=24\), \(2\cdot3\cdot5=30\). Наименьший \(24\). Ответ: \(24\).

Кандидаты: \(2^9=512\) и \(2^4\cdot3=48\). Наименьшее число равно \(48\).

Если \(\tau(n)=3\), то \(n=p^2\) для простого \(p\). Нужно \(p^2<100\), значит, \(p<10\). Простые \(p=2,3,5,7\). Получаем \(4,9,25,49\).

Если \(d\mid n\), то \(\frac{n}{d}\mid n\). Делители идут парами, кроме случая \(d=\frac{n}{d}\), то есть \(d^2=n\). Поэтому непарный делитель существует ровно тогда, когда \(n\) квадрат. Значит, число делителей нечетно ровно для квадратов.

Варианты показателей: \(14\), либо \(4\) и \(2\). Кандидаты: \(2^{14}\) и \(2^4\cdot3^2=144\). Наименьшее число \(144\).

Важные кандидаты: \(2^7\cdot3^2=1152\), \(2^5\cdot3^3=864\), \(2^5\cdot3\cdot5=480\), \(2^3\cdot3^2\cdot5=360\), \(2^2\cdot3\cdot5\cdot7=420\). Наименьший из них \(360\), и остальные варианты с еще большими показателями дают большие числа. Ответ: \(360\).

\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\). Тогда \(360^2=2^6\cdot3^4\cdot5^2\), поэтому \(\tau(360^2)=7\cdot5\cdot3=105\).

\(36=2^2\cdot3^2\), поэтому \(\tau(36)=9\). Произведение делителей равно \(36^{9/2}=6\cdot36^4\). Это и есть точное значение.

Если \(\tau(n)=4\), то возможны показатели \(3\), либо \(1\) и \(1\). Поэтому \(n=p^3\) для простого \(p\), либо \(n=pq\), где \(p,q\) - различные простые.

Пусть \(n=2^a m\), где \(m\) нечетно. Нечетные делители \(n\) - это делители \(m\). Нужно \(\tau(m)=2\), значит, \(m\) - нечетное простое число. Поэтому \(n=2^a p\), где \(a\ge0\), а \(p\) - нечетное простое.

\(10^6=2^6\cdot5^6\), значит, \(\tau(10^6)=(6+1)(6+1)=49\).

Кандидаты: \(2^8\cdot3^3=6912\), \(2^5\cdot3^5=7776\), \(2^5\cdot3^2\cdot5=1440\), \(2^3\cdot3^2\cdot5^2=1800\), \(2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7=1260\). Наименьший \(1260\). Другие разложения с большим одиночным показателем дают еще большие числа. Ответ: \(1260\).

Для \(12\) делителей варианты как раньше. Кандидаты среди нечетных: \(3^{11}\), \(3^5\cdot5\), \(3^3\cdot5^2\), \(3^2\cdot5\cdot7=315\). Наименьший \(315\). Ответ: \(315\).

Пусть \(n=2^a m\), \(m\) нечетно. Тогда \(\tau(n)=(a+1)\tau(m)\), а \(\tau(2n)=(a+2)\tau(m)\). Условие дает \(a+2=2(a+1)\), откуда \(a=0\). Значит, \(n\) должно быть нечетным. Все нечетные \(n\) подходят.

Чтобы число было минимальным, достаточно рассматривать \(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\), где \(a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\). Нужно \((a_1+1)(a_2+1)\cdots=60\). Основные кандидаты: \(2^9\cdot3^2\cdot5=23040\), \(2^5\cdot3^4\cdot5=12960\), \(2^4\cdot3^3\cdot5^2=10800\), \(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7=5040\). Варианты с одним или двумя очень большими показателями еще больше. Наименьший кандидат \(5040\), и \(\tau(5040)=\tau(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)=5\cdot3\cdot2\cdot2=60\). Ответ: \(5040\).