Глава
Подсчёт делителей и специальные числа
Подсчёт делителей через разложение на простые множители, свободные от квадратов делители, произведение делителей, показатели в факториалах и специальные числовые структуры.
Теория
1. Подсчёт делителей
Если \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\), то каждый делитель получается выбором показателей \(0\le e_i\le a_i\). Поэтому \(d(n)=(a_1+1)\cdots(a_k+1)\).
2. Делители без квадратов
У делителя, свободного от квадратов, каждый показатель простого равен \(0\) или \(1\).
3. Произведения и факториалы
Делители удобно разбивать на пары \(d\) и \(n/d\). В факториалах показатели простых считаются через целые части.
Примеры
Пример 1. Подсчёт делителей числа 3600
Это базовая модель подсчёта делителей.
Пример 2. Делители без квадратов
Это переформулированная задача на делители без квадратов.
Пример 3. Семь делителей и квадрат числа
Задача проверяет, как число делителей задаёт показатели.
Пример 4. Степень пятёрки в факториале
Это стандартный подсчёт показателя простого в факториале.
Задачи
Задачи
Лестницы