#8 Диофантовы уравнения I: факторизация и оценки

Делим на \(2\): \(2x+3y=5\). Одно решение: \(x=1\), \(y=1\). Тогда все решения имеют вид \(x=1+3t\), \(y=1-2t\), где \(t\in\mathbb Z\). Проверка: \(2(1+3t)+3(1-2t)=5\).

Из \(2x=18-3y\) следует, что \(y\) четно. Так как \(y>0\) и \(3y<18\), имеем \(y=2\) или \(y=4\). Тогда \(x=6\) или \(x=3\). Ответ: \((6,2)\), \((3,4)\).

Положительные делители \(24\): \(1,2,3,4,6,8,12,24\). Для каждого \(x\) имеем \(y=\frac{24}{x}\). Поэтому получаем \((1,24)\), \((2,12)\), \((3,8)\), \((4,6)\), \((6,4)\), \((8,3)\), \((12,2)\), \((24,1)\).

Имеем \((x-y)(x+y)=15\). Положительные пары множителей одинаковой четности: \((1,15)\) и \((3,5)\). Они дают \((x,y)=(8,7)\) и \((4,1)\). Это все решения.

Квадрат целого числа по модулю \(4\) равен \(0\) или \(1\). Поэтому разность двух квадратов по модулю \(4\) может иметь остаток \(0,1\) или \(3\), но не \(2\). Левая часть не может равняться \(2\). Решений нет.

Одно решение: \(x=-3\), \(y=2\), так как \(7(-3)+11\cdot2=1\). Все решения: \(x=-3+11t\), \(y=2-7t\), где \(t\in\mathbb Z\).

По модулю \(5\): \(8y\equiv67\), то есть \(3y\equiv2\pmod5\). Отсюда \(y\equiv4\pmod5\). Поскольку \(8y<67\), имеем \(y\le8\), значит, \(y=4\). Тогда \(x=\frac{67-32}{5}=7\). Ответ: \((7,4)\).

Получаем \((x+1)(y+1)=48\). Значит, \(x+1\) и \(y+1\) - делители \(48\), не меньшие \(2\). Отсюда решения: \((1,23)\), \((2,15)\), \((3,11)\), \((5,7)\), \((7,5)\), \((11,3)\), \((15,2)\), \((23,1)\).

Имеем \(xy-2x-5y=0\), значит, \((x-5)(y-2)=10\). Положительные делители \(10\): \(1,2,5,10\). Поэтому решения: \((6,12)\), \((7,7)\), \((10,4)\), \((15,3)\).

\((x-y)(x+y)=56\). Оба множителя должны иметь одинаковую четность, значит, оба четны. Подходящие пары: \((2,28)\) и \((4,14)\). Получаем \((x,y)=(15,13)\) и \((9,5)\).

Из \(8x+8y=xy\) получаем \(xy-8x-8y=0\), значит, \((x-8)(y-8)=64\). Поэтому \(x=8+d\), \(y=8+\frac{64}{d}\), где \(d\) пробегает положительные делители \(64\).

По модулю \(3\) получаем \(x^2\equiv2\pmod3\). Но квадрат по модулю \(3\) может иметь только остаток \(0\) или \(1\). Противоречие. Решений нет.

Имеем \(xy+2x+3y+6=60\), то есть \((x+3)(y+2)=60\). Поскольку \(x\ge1\), \(y\ge1\), нужно \(x+3\ge4\), \(y+2\ge3\). Проверяя делители \(60\), получаем решения \((1,13)\), \((2,10)\), \((3,8)\), \((7,4)\), \((9,3)\), \((12,2)\), \((17,1)\).

\((x-y)(x+y)=68\). Подходящие положительные пары одной четности: только \((2,34)\). Пара \((4,17)\) не подходит по четности. Отсюда \(x=\frac{2+34}{2}=18\), \(y=\frac{34-2}{2}=16\). Ответ: \((18,16)\).

Умножаем: \(10x+10y=xy\). Тогда \(xy-10x-10y=0\), и \((x-10)(y-10)=100\). Следовательно, \(x=10+d\), \(y=10+\frac{100}{d}\), где \(d\) - положительный делитель \(100\). Это полное описание всех решений.

Перепишем: \((x+1)^2-y^2=21\). Тогда \((x+1-y)(x+1+y)=21\). Пары положительных множителей: \((1,21)\) и \((3,7)\). Они дают соответственно \((x,y)=(10,10)\) и \((4,2)\). Других решений нет.

Имеем \(xy-x-2y+2=19\), то есть \((x-2)(y-1)=19\). Так как \(19\) простое, возможны пары множителей \((1,19)\) и \((19,1)\). Получаем \((x,y)=(3,20)\) и \((21,2)\).

Квадрат по модулю \(8\) равен \(0,1\) или \(4\). Сумма двух таких остатков может быть \(0,1,2,4,5\) по модулю \(8\), но не \(6\). Правая часть имеет остаток \(6\), противоречие.

Получаем \(xy-x-y+1=2\), то есть \((x-1)(y-1)=2\). Поэтому \((x-1,y-1)=(1,2)\) или \((2,1)\). Ответ: \((2,3)\), \((3,2)\).

Из \(xy-4x-4y=5\) получаем \((x-4)(y-4)=21\). Положительные делители \(21\): \(1,3,7,21\). Отсюда решения \((5,25)\), \((7,11)\), \((11,7)\), \((25,5)\). Отрицательные множители не дают положительных \(x,y\).

Уравнение равносильно \((x-y)^2=x+y\). Если \(x=y\), получаем \(0=2x\), что невозможно для положительного \(x\). Пусть \(x>y\) и \(d=x-y\). Тогда \(d^2=2y+d\), откуда \(y=\frac{d^2-d}{2}\), \(x=\frac{d^2+d}{2}\). Нужно \(d\ge2\). Так как уравнение симметрично, все решения имеют вид \(\left(\frac{d(d+1)}{2},\frac{d(d-1)}{2}\right)\) и \(\left(\frac{d(d-1)}{2},\frac{d(d+1)}{2}\right)\), где \(d\ge2\) - целое.

Пусть \(x\le y\). Тогда \(xy\le x+y+2\). Если \(x\ge3\), то \(xy\ge3y\), а \(x+y+2\le2y+2\), что невозможно при \(y\ge3\). Значит, \(x=1\) или \(x=2\). При \(x=1\): \(y\mid y+3\), значит, \(y\mid3\), и \(y=1,3\). При \(x=2\): \(2y\mid y+4\), поэтому \(y\le4\); проверка \(y=2,3,4\) дает только \(y=4\). С учетом симметрии: \((1,1)\), \((1,3)\), \((3,1)\), \((2,4)\), \((4,2)\).

Разложим: \((x-y)(x+y)=2(x+y)+15\). Тогда \((x+y)(x-y-2)=15\). Пусть \(A=x+y\), \(B=x-y-2\). Имеем \(AB=15\), \(A>0\), \(B>0\). Проверяем пары \((15,1)\), \((5,3)\), \((3,5)\), \((1,15)\). Так как \(y=\frac{A-B-2}{2}\), положительное \(y\) получается только для \((A,B)=(15,1)\). Тогда \(y=6\), \(x=9\). Ответ: \((9,6)\).

Уравнение симметрично, поэтому считаем \(x\ge y\). Тогда \(x^2\le x^2+xy+y^2=x+y+30\le2x+30\). Значит, \(x^2-2x-30\le0\), откуда \(x\le6\).

Проверяем \(x=1,2,3,4,5,6\) в уравнении как квадратное относительно \(y\). При \(x=1\) получаем \(y^2=30\), нет решений. При \(x=2\): \(y^2+y-28=0\), нет целого положительного \(y\). При \(x=3\): \(y^2+2y-24=0\), \(y=4\), но это противоречит \(x\ge y\). При \(x=4\): \(y^2+3y-18=0\), \(y=3\). При \(x=5\): \(y^2+4y-10=0\), нет целого \(y\). При \(x=6\): \(y^2+5y=0\), нет положительного \(y\). Значит, при \(x\ge y\) есть только \((4,3)\). По симметрии также есть \((3,4)\). Ответ: \((4,3)\), \((3,4)\).