Метод площадей II

Площади относятся как основания на одной прямой \(BC\). Поэтому \([ABD]:[ADC]=BD:DC=4:7\).

Треугольники \(ABD\) и \(ADC\) имеют общую высоту, поэтому отношение площадей равно отношению оснований. Значит, \(BD:DC=5:2\).

Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) имеют общую высоту из \(A\) к \(BC\). Основания \(BM\) и \(CM\) равны, поэтому площади равны.

Треугольники \(ABP\) и \(ABQ\) имеют общее основание \(AB\). Их площади относятся как высоты к этому основанию, значит, \([ABP]:[ABQ]=3:1\).

Треугольники \(ABP\) и \(ACP\) имеют общее основание \(AP\). Их высоты из \(B\) и \(C\) к \(AP\) относятся как \(BD:DC\). Поэтому \(\frac{[ABP]}{[ACP]}=\frac{BD}{DC}\).

По формуле \(\frac{BD}{DC}=\frac{[ABP]}{[ACP]}=\frac{6}{5}\). Значит, \(BD:DC=6:5\).

Имеем \(\frac{BD}{DC}=\frac{[PAB]}{[PCA]}=\frac{12}{6}=2:1\). Далее \(\frac{CE}{EA}=\frac{[PBC]}{[PAB]}=\frac{9}{12}=3:4\). Наконец, \(\frac{AF}{FB}=\frac{[PCA]}{[PBC]}=\frac{6}{9}=2:3\).

Треугольники \(PBC\) и \(ABC\) имеют общее основание \(BC\). Поэтому \(\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{PD}{AD}=\frac{3}{8}\). Тогда \(AP=AD-PD\), значит, \(AP:PD=5:3\).

По формуле \(\frac{[PAB]}{[PAC]}=\frac{BM}{MC}\). Так как \(M\) - середина \(BC\), имеем \(BM=MC\). Следовательно, \([PAB]=[PAC]\).

Имеем \(\frac{BD}{DC}=\frac{[PAB]}{[PAC]}=1\). Поэтому \(BD=DC\), значит, \(D\) - середина \(BC\).

Пусть \(S_A=[PBC]\), \(S_B=[PCA]\), \(S_C=[PAB]\). Тогда \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_C}{S_B}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_A}{S_C}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_B}{S_A}\). При перемножении всё сокращается, и получается \(1\).

Из \(BD:DC=2:3\) получаем \(x:z=2:3\). Из \(CE:EA=3:4\) получаем \(y:x=3:4\). Возьмём \(x=8\). Тогда \(z=12\), \(y=6\). Значит, \([PAB]:[PBC]:[PCA]=8:6:12=4:3:6\).

Так как \(AP:PD=4:3\), то \(PD:AD=3:7\). Треугольники \(PBC\) и \(ABC\) имеют общее основание \(BC\), поэтому \([PBC]:[ABC]=PD:AD=3:7\).

Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Тогда \(x:z=3:5\), а \(y:x=2:3\). Возьмём \(x=9\). Тогда \(z=15\), \(y=6\). Ответ: \([PAB]:[PBC]:[PCA]=9:6:15=3:2:5\).

Так как чевианы проходят через одну точку, по Чеве \(\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Первые множители дают \(\frac{3}{4}\), поэтому \(\frac{AF}{FB}=\frac{4}{3}\). Ответ: \(AF:FB=4:3\).

Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Из \(BD:DC=2:3\) имеем \(x:z=2:3\). Из \(CE:EA=3:2\) имеем \(y:x=3:2\). Возьмём \(x=2\), тогда \(z=3\), \(y=3\). Общая площадь равна \(8\) условным частям, а \([PBC]=3\). Так как \(P\in AD\), \(\frac{PD}{AD}=\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{3}{8}\). Значит, \(AP:PD=5:3\).

Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Из \(BD:DC=3:4\) имеем \(x:z=3:4\). Из \(CE:EA=2:5\) имеем \(y:x=2:5\). Возьмём \(x=15\), тогда \(z=20\), \(y=6\), всего \(41\). Так как \(P\in BE\), \(\frac{PE}{BE}=\frac{[PCA]}{[ABC]}=\frac{20}{41}\). Тогда \(BP:PE=21:20\).

Произведение равно \(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}=1\). По теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны. Числа \(x,y,z\) можно понимать как площади трёх малых треугольников около точки пересечения.

Так как \(PQ\parallel BC\), треугольники \(APQ\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом \(\frac{AP}{AC}\). Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому \(\frac{[APQ]}{[ABC]}=\left(\frac{AP}{AC}\right)^2\).

Из подобия \(APQ\sim ABC\) имеем \(\left(\frac{AP}{AC}\right)^2=\frac{9}{25}\), значит, \(\frac{AP}{AC}=\frac{3}{5}\). Тогда \(PC=\frac{2}{5}AC\), поэтому \(AP:PC=3:2\).

Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Из \(BD:DC=2:5\) имеем \(x:z=2:5\). Из \(CE:EA=3:4\) имеем \(y:x=3:4\). Возьмём \(x=8\), тогда \(z=20\), \(y=6\), всего \(34\). На чевиане \(AD\): \(\frac{PD}{AD}=\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{6}{34}=\frac{3}{17}\), поэтому \(AP:PD=14:3\). На чевиане \(BE\): \(\frac{PE}{BE}=\frac{[PCA]}{[ABC]}=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}\), поэтому \(BP:PE=7:10\).

Произведение \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot 2=1\), значит, по Чеве чевианы конкурентны. Пусть \(x=[PAB]\), \(y=[PBC]\), \(z=[PCA]\). Из \(BD:DC=3:4\) получаем \(x:z=3:4\). Из \(CE:EA=2:3\) получаем \(y:x=2:3\). Возьмём \(x=9\), тогда \(z=12\), \(y=6\). Ответ: \([PAB]:[PBC]:[PCA]=9:6:12=3:2:4\).

Имеем \(\frac{AP}{AC}=\frac{1}{3}\), \(\frac{AQ}{AC}=\frac{2}{3}\). Поэтому \([APP_1]:[ABC]=\frac{1}{9}\), а \([AQQ_1]:[ABC]=\frac{4}{9}\). Следовательно, \([APP_1]:[AQQ_1]=1:4\).

По формулам \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_C}{S_B}=\frac{15}{10}=3:2\). Далее \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_A}{S_C}=\frac{6}{15}=2:5\). Наконец, \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_B}{S_A}=\frac{10}{6}=5:3\). Проверка Чевы: \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}=1\), значит, отношения согласованы с конкурентностью чевиан.