Задача
GEO-B2-M07-P018 Доказать конкурентность площадями
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D,E,F\) лежат на \(BC,CA,AB\). Известно, что существуют положительные числа \(x,y,z\), для которых \(\frac{BD}{DC}=\frac{z}{y}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{x}{z}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{y}{x}\). Докажите, что \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.
Перемножьте три отношения.
Произведение равно \(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}=1\). По теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны. Числа \(x,y,z\) можно понимать как площади трёх малых треугольников около точки пересечения.
Абстрактная форма площади около точки.