Задача
GEO-B2-M07-P016 Положение точки на чевиане
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(BD:DC=2:3\), \(CE:EA=3:2\). Прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются в \(P\). Найдите \(AP:PD\).
Сначала найдите три площади \([PAB]\), \([PBC]\), \([PCA]\).
Пусть \([PAB]=x\), \([PBC]=y\), \([PCA]=z\). Из \(BD:DC=2:3\) имеем \(x:z=2:3\). Из \(CE:EA=3:2\) имеем \(y:x=3:2\). Возьмём \(x=2\), тогда \(z=3\), \(y=3\). Общая площадь равна \(8\) условным частям, а \([PBC]=3\). Так как \(P\in AD\), \(\frac{PD}{AD}=\frac{[PBC]}{[ABC]}=\frac{3}{8}\). Значит, \(AP:PD=5:3\).
Хорошая задача на preview mass points через площади.