Теоремы Чевы и Менелая

По Чеве \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Первые множители дают \(\frac{1}{2}\), значит, \(\frac{AF}{FB}=2\). Ответ: \(AF:FB=2:1\).

Вычислим: \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{2}=1\). Поэтому по теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.

Пусть \(D,E,F\) - середины \(BC,CA,AB\). Тогда \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=1\). Произведение равно \(1\), следовательно, по Чеве медианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.

По Менелаю \(\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Получаем \(\frac{2}{3}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), значит, \(AF:FB=3:2\).

Имеем \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot 2=1\). Ровно одна точка лежит на продолжении стороны, поэтому по положительной форме Менелая точки \(D,E,F\) коллинеарны.

По теореме Чевы равенство произведения \(1\) для точек на сторонах треугольника эквивалентно конкурентности чевиан. Следовательно, \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке.

По Чеве \(\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Первые множители равны \(\frac{5}{4}\), значит, \(\frac{AF}{FB}=\frac{4}{5}\). Ответ: \(4:5\).

По Чеве \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AM}{MB}=1\). Значит, \(2\cdot\frac{CE}{EA}\cdot 1=1\), откуда \(\frac{CE}{EA}=\frac{1}{2}\). Ответ: \(CE:EA=1:2\).

Для одной внешней точки используем положительную форму: \(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\). Имеем \(\frac{2}{3}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{1}{4}=1\). Значит, \(\frac{BF}{FC}=6\), то есть \(BF:FC=6:1\).

По Менелаю \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Значит, \(\frac{3}{4}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{7}{2}=1\). Получаем \(\frac{21}{8}\cdot\frac{CE}{EA}=1\), откуда \(CE:EA=8:21\).

Пусть биссектрисы из \(A,B,C\) пересекают противоположные стороны в \(D,E,F\). Тогда \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{BC}{BA}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{CA}{CB}\). Произведение этих трёх отношений равно \(1\). По Чеве биссектрисы конкурентны.

По Чеве \(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\). Здесь \(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\), а \(\frac{CE}{EA}=\frac{3}{2}\). Поэтому \(\frac{1}{2}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{3}{2}=1\). Значит, \(\frac{BF}{FC}=\frac{4}{3}\). Ответ: \(BF:FC=4:3\).

Имеем \(\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\). Тогда \(\frac{3}{2}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{1}{5}=1\), откуда \(\frac{BF}{FC}=\frac{10}{3}\). Ответ: \(BF:FC=10:3\).

Произведение равно \(\frac{AB}{AC}\cdot\frac{BC}{BA}\cdot\frac{CA}{CB}=1\). По теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.

Так как треугольники \(PBD\) и \(PDC\) имеют общую высоту к \(BC\), \(\frac{BD}{DC}=\frac{[PBD]}{[PDC]}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=\frac{[PCE]}{[PEA]}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{[PAF]}{[PFB]}\). Группируя площади вокруг точки \(P\), получаем телескопическое сокращение, и произведение равно \(1\). Это и есть необходимая часть теоремы Чевы.

Обозначим направленные расстояния от \(A,B,C\) до прямой \(l\) через \(h_A,h_B,h_C\). Так как \(D\) лежит на \(BC\) и на \(l\), точка \(D\) делит \(BC\) в отношении направленных расстояний до \(l\): \(\frac{BD}{DC}=-\frac{h_B}{h_C}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=-\frac{h_C}{h_A}\) и \(\frac{AF}{FB}=-\frac{h_A}{h_B}\). Перемножая, получаем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1\).

По Чеве \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Первые два множителя дают \(-\frac{2}{5}\). Поэтому \(\frac{AF}{FB}=-\frac{5}{2}\). Отрицательный знак означает, что \(F\) лежит на продолжении \(AB\).

По Чеве \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По Менелаю для прямой \(DEX\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). Первые два множителя одинаковы, значит, третьи множители равны: \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).

По Чеве \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), поэтому \(\frac{2}{5}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), и \(AF:FB=5:2\). По Менелаю для \(D,E,X\): \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{AX}{XB}=1\), значит, \(AX:XB=5:2\).

По Менелаю для прямой \(D E X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). По условию \(\frac{AX}{XB}=\frac{AF}{FB}\), значит, \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По теореме Чевы прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны.

Так как \(D\) и \(E\) внутренние, прямые \(AD\) и \(BE\) пересекаются внутри треугольника, поэтому прямая \(CP\) пересекает сторону \(AB\) во внутренней точке \(F\). Прямая через две внутренние точки \(D\) и \(E\) пересекает третью сторону \(AB\) на продолжении, значит, \(X\) внешняя. По Чеве \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), а по Менелаю для \(D,E,X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). Поэтому \(\frac{AF}{FB}=\frac{AX}{XB}\).

По Чеве \(\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)\frac{AF}{FB}=1\). Первые два множителя дают \(\frac{1}{2}\). Значит, \(\frac{AF}{FB}=2\). Положительный знак показывает, что \(F\) лежит на отрезке \(AB\).

Перемножим: \(2\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{5}{6}=-1\). Следовательно, по теореме Менелая с направленными отношениями точки \(D,E,F\) лежат на одной прямой.

По Менелаю для коллинеарных \(D,E,X\): \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AX}{XB}=1\). По условию \(\frac{AX}{XB}=\frac{AF}{FB}\), поэтому \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). По Чеве прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны. Но \(AD\) и \(BE\) уже пересекаются в \(P\), значит, третья прямая \(CF\) тоже проходит через \(P\). Следовательно, \(C,P,F\) коллинеарны.