Практика
Найдите наименьшее значение \(x^2-10x+29\).
Выделите полный квадрат.
\(x^2-10x+29=(x-5)^2+4\). Минимум равен \(4\), достигается при \(x=5\).
Решите систему \(x+y=8\), \(xy=15\).
Считайте \(x,y\) корнями квадратного уравнения.
\(x,y\) — корни \(t^2-8t+15=0=(t-3)(t-5)\). Ответ: \((3,5),(5,3)\).
Докажите, что \(n(n+1)(n+2)\) делится на \(6\) при любом целом \(n\).
Среди трёх последовательных чисел есть кратное \(3\) и чётное.
В трёх последовательных целых одно делится на \(3\), а одно на \(2\). Поэтому произведение делится на \(2\cdot3=6\).
Пусть \(f(0)=5\) и \(f(n+1)=f(n)+2\) для \(n\ge0\). Найдите \(f(4)\).
Сделайте четыре перехода.
\(f(1)=7\), \(f(2)=9\), \(f(3)=11\), \(f(4)=13\).
При \(x>0\) докажите \(x+\frac{4}{x}\ge4\).
Примените AM-GM к \(x\) и \(\frac{4}{x}\).
\(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4\). Равенство при \(x=2\).
Решите систему \(x+y+xy=19\), \(x^2+y^2=25\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
Получаем \(s+p=19\), \(s^2-2p=25\). Тогда \(s^2+2s-63=0\), откуда \(s=7\) или \(s=-9\). При \(s=7\), \(p=12\), имеем \(\{x,y\}=\{3,4\}\). При \(s=-9\), \(p=28\), реальных корней нет. Ответ: \((3,4),(4,3)\).
Найдите все целые \(a\), при которых \(x^2+ax+18\) имеет целые корни.
Используйте произведение корней \(18\).
Пусть корни \(r,s\). Тогда \(rs=18\), \(r+s=-a\). Возможные суммы пар множителей: \(\pm19,\pm11,\pm9\). Поэтому \(a\in\{-19,-11,-9,9,11,19\}\).
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Используйте тождество для суммы кубов.
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\). Значит, \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Найдите все линейные функции \(f(x)=ax+b\), для которых \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3\).
Подставьте \(ax+b\).
\(a(x+y)+b=ax+b+ay+b+3\). Свободные члены дают \(b=2b+3\), значит \(b=-3\), а \(a\) произвольно. Ответ: \(f(x)=ax-3\).
Пусть \(u_0=0\), \(u_{n+1}=u_n+3n+1\). Найдите \(u_n\).
Просуммируйте \(3k+1\) от \(0\) до \(n-1\).
\(u_n=\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)=3\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{3n^2-n}{2}\).
Найдите все целые решения \(x^2-y^2=35\).
Разложите на \((x-y)(x+y)\) и учитывайте порядок множителей.
Пусть \(u=x-y\), \(v=x+y\). Тогда \(uv=35\), \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{v-u}{2}\). Оба множителя нечётны, поэтому все пары делителей подходят. Для \((u,v)=(1,35),(35,1),(5,7),(7,5)\) и соответствующих отрицательных пар получаем \((18,17),(18,-17),(6,1),(6,-1),(-18,-17),(-18,17),(-6,-1),(-6,1)\).
Многочлен \(P(x)\) степени не выше \(2\) удовлетворяет \(P(0)=1\), \(P(1)=3\), \(P(2)=7\). Найдите \(P(3)\).
Для квадратичного многочлена вторые разности постоянны.
Первые разности: \(2\) и \(4\), значит вторая разность равна \(2\). Следующая первая разность равна \(6\). Поэтому \(P(3)=7+6=13\).
Найдите положительные целые решения \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\).
Преобразуйте к \((x-8)(y-8)=64\).
Из \(8x+8y=xy\) получаем \((x-8)(y-8)=64\). Положительные делители \(64\): \(1,2,4,8,16,32,64\). Значит, решения: \((9,72),(10,40),(12,24),(16,16)\) и симметричные пары.
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(3)=12\). Найдите \(f\left(\frac{5}{2}\right)\).
Сначала найдите \(f(1)\).
\(f(3)=3f(1)=12\), значит \(f(1)=4\). Тогда \(f(q)=4q\) для рациональных \(q\), поэтому \(f\left(\frac{5}{2}\right)=10\).
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите, что \(ab+bc+ca\le3\).
Используйте \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge3(ab+bc+ca)\). Так как \(a+b+c=3\), имеем \(9\ge3(ab+bc+ca)\), то есть \(ab+bc+ca\le3\).
Найдите все вещественные тройки \((a,b,c)\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=8\), \(a^3+b^3+c^3=0\).
Используйте \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Из нулевой суммы \(a^3+b^3+c^3=3abc\), значит \(abc=0\). Также \(ab+bc+ca=-4\). Пусть один из чисел равен \(0\), например \(c=0\). Тогда \(a+b=0\), \(a^2+b^2=8\), откуда \(a=\pm2\), \(b=\mp2\). Все решения — перестановки \((2,-2,0)\).
Найдите все целые тройки \((x,y,z)\), для которых \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+3\).
Умножьте на \(2\) и используйте сумму квадратов разностей.
Получаем \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=6\). Квадраты целых чисел должны быть \(1,1,4\). Поэтому разности равны \(1,1,-2\) с точностью до знаков и порядка. Значит, тройка состоит из трёх последовательных целых чисел. Все решения — перестановки \((t-1,t,t+1)\), \(t\in\mathbb Z\).
Найдите все пары целых \((a,b)\), для которых многочлен \(x^2+ax+b\) имеет два целых корня, отличающихся на \(1\).
Пусть корни \(n\) и \(n+1\).
Пусть корни \(n\) и \(n+1\), где \(n\in\mathbb Z\). По Виета \(a=-(2n+1)\), \(b=n(n+1)\). И наоборот, при таких \(a,b\) многочлен равен \((x-n)(x-n-1)\). Ответ: \((a,b)=(-(2n+1),n(n+1))\), \(n\in\mathbb Z\).
Пусть \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). Докажите, что \(u_n=2^{n+1}-1\).
Проверьте базу и сделайте индукционный переход.
Для \(n=0,1\) формула верна. Если \(u_n=2^{n+1}-1\) и \(u_{n+1}=2^{n+2}-1\), то \(u_{n+2}=3(2^{n+2}-1)-2(2^{n+1}-1)=2^{n+3}-1\). Формула доказана.
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[\frac{x^2}{2x+y}+\frac{y^2}{2y+z}+\frac{z^2}{2z+x}\ge\frac{x+y+z}{3}.\]
Сложите знаменатели и примените Коши.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}\).
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\), \(f(1)=2\). Найдите \(f(n)\).
Вычтите \(n^2\).
Пусть \(g(n)=f(n)-n^2\). Тогда \(g(m+n)=g(m)+g(n)\), а \(g(1)=1\). Значит, \(g(n)=n\), и \(f(n)=n^2+n\).
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2+z^2=8k+7\) не имеет целых решений.
Квадраты по модулю \(8\) равны \(0,1,4\).
Возможные остатки квадратов по модулю \(8\): \(0,1,4\). Сумма трёх таких остатков не равна \(7\) по модулю \(8\) ни при каком выборе. Правая часть сравнима с \(7\), противоречие.
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=6xy\) не имеет положительных целых решений.
Выберите решение с минимальной суммой и рассмотрите уравнение как квадратное относительно большей переменной.
Пусть положительное решение существует, и выберем решение с минимальным \(x+y\). Пусть \(x>y\). Как квадратное относительно \(x\), уравнение имеет вид \(X^2-6yX+y^2=0\). Второй корень \(x'=6y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Тогда \((x',y)\) — меньшее положительное решение, противоречие.
Найдите все целые \(n\), при которых \(n^4+4\) является простым числом.
Используйте разложение \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\).
Имеем \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\). При \(|n|>1\) оба множителя больше \(1\), значит число составное. При \(n=0\) получаем \(4\). При \(n=1\) и \(n=-1\) получаем \(5\), простое. Ответ: \(n=\pm1\).