Степень точки

По теореме о двух секущих \(5\cdot18=6\cdot PD\). Значит \(PD=15\).

Имеем \(PT^2=3\cdot27=81\). Поэтому \(PT=9\).

По теореме о пересекающихся хордах \(XA\cdot XB=XC\cdot XD\). Значит \(8\cdot6=4\cdot XD\), откуда \(XD=12\).

По формуле касательной степень точки \(P\) относительно окружности равна \(PA^2\). Но та же степень равна \(PB^2\). Поэтому \(PA^2=PB^2\), а длины положительны, значит \(PA=PB\).

Соединим \(A\) с \(C\), а \(B\) с \(D\). Рассмотрим треугольники \(PAC\) и \(PDB\). Угол при \(P\) у них общий, потому что \(P,A,B\) и \(P,C,D\) коллинеарны. Кроме того, \(\angle PAC=\angle BAC\), \(\angle PDB=\angle CDB\), а углы \(\angle BAC\) и \(\angle CDB\) равны как вписанные, опирающиеся на хорду \(BC\). Поэтому \(\triangle PAC\sim\triangle PDB\). Из подобия \(\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\), значит \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).

Пусть окружность через \(A,B,C\) второй раз пересекает луч \(PC\) в точке \(D'\). Тогда по теореме о секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD'\). По условию \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\), значит \(PD'=PD\). Поскольку \(D\) и \(D'\) лежат на одном луче от \(P\), они совпадают. Следовательно, \(A,B,C,D\) цикличны.

Пусть \(XA=2k\), \(XB=5k\). Тогда \(XA\cdot XB=10k^2\). По теореме о хордах \(10k^2=XC\cdot XD=6\cdot15=90\). Значит \(k^2=9\), \(k=3\). Поэтому \(XA=6\), \(XB=15\).

Пусть \(PA=x\). Тогда \(PB=x+20\). По формуле касательная-секущая \(12^2=x(x+20)\), то есть \(x^2+20x-144=0\). Положительный корень равен \(x=6\). Значит \(PA=6\).

Прямые \(AB\) и \(AC\) являются секущими окружности \((BCDE)\). Поэтому \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\). Получаем \(4\cdot14=7\cdot AC\), откуда \(AC=8\).

Для первой окружности степень точки \(P\) равна \(PA\cdot PB\). Для второй окружности точки пересечения с прямой \(PAB\) те же \(A\) и \(B\), поэтому степень также равна \(PA\cdot PB\). Значит степени равны.

По формуле касательная-секущая \(PT^2=PA\cdot PB\). Поэтому \(225=9\cdot PB\), откуда \(PB=25\). Секущая проходит через центр, значит \(AB\) — диаметр. Получаем \(AB=PB-PA=25-9=16\).

По теореме о секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\). Тогда \(\frac{PD}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{2}{3}\). Следовательно, \(PD:PB=2:3\).

Из точки \(A\) к окружности \((BCDE)\) проведены две секущие: \(ADB\) и \(AEC\). Поэтому \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\). Делим обе части на \(AE\cdot AB\) и получаем \(\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}\).

На луче \(AB\) находятся точки \(D,B\), на луче \(AC\) — точки \(E,C\). Равенство \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\) имеет вид равенства произведений двух секущих из точки \(A\). По обратному признаку степени точки точки \(D,B,E,C\), то есть \(B,C,D,E\), лежат на одной окружности.

Диагонали \(AC\) и \(BD\) являются хордами одной окружности и пересекаются в \(P\). По теореме о пересекающихся хордах \(PA\cdot PC=PB\cdot PD\).

Прямая \(PAB\) пересекает окружность в точках \(A\) и \(B\), а прямая \(PCD\) — в точках \(C\) и \(D\). Поэтому по теореме о двух секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).

По теореме о касательной и секущей \(TA^2=TB\cdot TC\). По теореме о касательной и хорде \(\angle TAB=\angle ACB\) и \(\angle TAC=\angle ABC\), значит \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\). Из подобия \(\frac{TB}{TA}=\frac{AB}{AC}\) и \(\frac{TA}{TC}=\frac{AB}{AC}\). Перемножая, получаем \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}\).

Относительно окружности \((ABD)\) из точки \(C\) проведена касательная \(CE\) и секущая \(CDB\). Так как \(D\) лежит на стороне \(BC\), точки на секущей идут в порядке \(C,D,B\). По формуле касательная-секущая получаем \(CE^2=CD\cdot CB\).

Степень точки \(P\) относительно первой окружности равна \(PT_1^2\), а относительно второй — \(PT_2^2\). Если \(PT_1=PT_2\), то \(PT_1^2=PT_2^2\). Следовательно, степени равны.

Проведём окружность через \(A,B,C\). Пусть она второй раз пересекает прямую \(l_2\) в точке \(D'\), расположенной на том же луче от \(P\), что и \(D\). По теореме о секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD'\). Сравнивая с условием, получаем \(PD'=PD\), значит \(D'=D\). Следовательно, \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

По доказанному в задачах выше результату для касательной к описанной окружности \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}\). Для полноты: это следует из подобия \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\), полученного по теореме о касательной и хорде. При \(AB=9\), \(AC=6\) получаем \(TB:TC=9^2:6^2=81:36=9:4\).

Равенство степеней для точки \(X\) даёт \(XO_1^2-r_1^2=XO_2^2-r_2^2\), то есть \(XO_1^2-XO_2^2=r_1^2-r_2^2\). Такое же равенство выполняется для точки \(Y\). Значит точки \(X\) и \(Y\) имеют одинаковую разность квадратов расстояний до \(O_1\) и \(O_2\). Множество таких точек — прямая, перпендикулярная \(O_1O_2\). Следовательно, \(XY\perp O_1O_2\).

Предположим, что \(PT\) не касательная. Тогда прямая \(PT\) пересекает окружность ещё в точке \(U\). По теореме о секущих \(PT\cdot PU=PA\cdot PB\). По условию \(PT^2=PA\cdot PB\), значит \(PT\cdot PU=PT^2\), откуда \(PU=PT\). Но на луче из \(P\) точка окружности на расстоянии \(PT\) уже есть — это \(T\), значит \(U=T\), противоречие двум различным точкам пересечения. Следовательно, \(PT\) касается окружности.

Для первой окружности степень точки \(P\) равна \(PC\cdot PD\). Для второй окружности она равна \(PE\cdot PF\). Но \(P\) лежит на прямой \(AB\), а \(A\) и \(B\) — общие точки окружностей. Поэтому обе степени также равны одному и тому же произведению \(PA\cdot PB\). Следовательно, \(PC\cdot PD=PE\cdot PF\).