Задача
GEO-B2-M02-P006 Произведение создаёт окружность
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точки \(A,B\) лежат на одном луче с началом \(P\), точки \(C,D\) — на другом луче. Известно, что \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\). Докажите, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.
Проведите окружность через \(A,B,C\) и посмотрите, где она второй раз пересечёт луч \(PC\).
Пусть окружность через \(A,B,C\) второй раз пересекает луч \(PC\) в точке \(D'\). Тогда по теореме о секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD'\). По условию \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\), значит \(PD'=PD\). Поскольку \(D\) и \(D'\) лежат на одном луче от \(P\), они совпадают. Следовательно, \(A,B,C,D\) цикличны.
Важная обратная техника: доказать окружность не углами, а произведением.