Задача
GEO-B2-M02-P017 Касательная к описанной окружности и отношение
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Касательная к описанной окружности треугольника \(ABC\) в точке \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(T\), причём \(T\) лежит вне отрезка \(BC\). Докажите, что \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
Используйте и степень точки \(T\), и подобие \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\).
По теореме о касательной и секущей \(TA^2=TB\cdot TC\). По теореме о касательной и хорде \(\angle TAB=\angle ACB\) и \(\angle TAC=\angle ABC\), значит \(\triangle TAB\sim\triangle TCA\). Из подобия \(\frac{TB}{TA}=\frac{AB}{AC}\) и \(\frac{TA}{TC}=\frac{AB}{AC}\). Перемножая, получаем \(\frac{TB}{TC}=\frac{AB^2}{AC^2}\).
Сильная связка Book 2 Module 1 и Module 2.