Радикальная ось

Для любой точки \(X\) на прямой \(AB\) секущая \(XAB\) пересекает обе окружности в одних и тех же точках \(A\) и \(B\). Поэтому степень \(X\) относительно каждой окружности равна \(XA\cdot XB\). Значит степени равны, и \(AB\) является радикальной осью.

Пусть \(X\) лежит на общей касательной в \(A\). Относительно первой окружности \(XA\) — касательная, поэтому степень равна \(XA^2\). Относительно второй окружности \(XA\) тоже касательная, поэтому степень снова равна \(XA^2\). Значит степени равны для всех точек этой прямой.

Пусть общий радиус равен \(r\). Равенство степеней имеет вид \(XO_1^2-r^2=XO_2^2-r^2\), откуда \(XO_1^2=XO_2^2\), то есть \(XO_1=XO_2\). Множество точек, равноудалённых от \(O_1\) и \(O_2\), — серединный перпендикуляр к \(O_1O_2\).

Пусть \(O_1H=x\). Тогда \(O_2H=13-x\). Равенство степеней даёт \(x^2-5^2=(13-x)^2-8^2\). Получаем \(x^2-25=x^2-26x+169-64\), значит \(-25=105-26x\), откуда \(x=5\). Поэтому \(O_1H=5\).

Степень точки \(P\) относительно \(\omega_1\) равна \(PT_1^2\), а относительно \(\omega_2\) равна \(PT_2^2\). Так как \(PT_1=PT_2\), степени равны. Значит \(P\) лежит на радикальной оси окружностей. Они пересекаются в \(A\) и \(B\), поэтому радикальная ось — прямая \(AB\). Следовательно, \(P,A,B\) коллинеарны.

Произведение \(PA\cdot PB\) равно степени точки \(P\) относительно \(\omega_1\). Произведение \(PC\cdot PD\) равно степени точки \(P\) относительно \(\omega_2\). По условию эти степени равны, значит \(P\) лежит на радикальной оси двух окружностей.

Из \(R\in\operatorname{Rad}(\omega_1,\omega_2)\) следует \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(R)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(R)\). Из \(R\in\operatorname{Rad}(\omega_2,\omega_3)\) следует \(\operatorname{Pow}_{\omega_2}(R)=\operatorname{Pow}_{\omega_3}(R)\). Поэтому \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(R)=\operatorname{Pow}_{\omega_3}(R)\), то есть \(R\) лежит на третьей радикальной оси.

Первая общая хорда является радикальной осью первой и второй окружностей, а вторая — радикальной осью второй и третьей. Их точка пересечения \(R\) имеет равные степени относительно первой, второй и третьей окружностей. Поэтому \(R\) лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей. Так как они пересекаются, эта ось является их общей хордой.

Для точки \(P\) равенство касательных означает равенство степеней относительно двух окружностей, значит \(P\) лежит на их радикальной оси. Аналогично \(Q\) лежит на той же радикальной оси. Так как окружности пересекаются в \(A\) и \(B\), радикальная ось — прямая \(AB\). Следовательно, \(P,Q,A,B\) коллинеарны.

Так как \(P\) лежит на радикальной оси, \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)\). Но \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=PA\cdot PB\), а \(\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)=PC\cdot PD\). Поэтому \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).

Равенство степеней в точке \(H\) даёт \(x^2-13^2=(20-x)^2-7^2\). Тогда \(x^2-169=x^2-40x+400-49\), откуда \(-169=351-40x\), значит \(40x=520\) и \(x=13\). Следовательно, \(O_1H=13\).

Пусть центры окружностей \(O_1,O_2\), радиусы \(r_1,r_2\). Для точки \(X\) радикальной оси имеем \(XO_1^2-r_1^2=XO_2^2-r_2^2\), то есть \(XO_1^2-XO_2^2=r_1^2-r_2^2\). Множество точек с постоянной разностью квадратов расстояний до \(O_1\) и \(O_2\) является прямой, перпендикулярной \(O_1O_2\). Следовательно, радикальная ось перпендикулярна линии центров.

Прямая \(AB\) — радикальная ось \(\omega_1\) и \(\omega_2\), а \(CD\) — радикальная ось \(\omega_2\) и \(\omega_3\). Их пересечение \(R\) является радикальным центром трёх окружностей. Поэтому \(R\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_3\). Так как эти окружности пересекаются в \(E,F\), их радикальная ось — прямая \(EF\). Следовательно, \(R,E,F\) коллинеарны.

Множество точек, имеющих равные степени относительно двух данных окружностей, по определению является их радикальной осью. Радикальная ось — прямая. Следовательно, все точки \(X,Y,Z\) лежат на этой прямой.

Из ортогональности \(\gamma\) и \(\omega_1\) получаем \(XO_1^2= ho^2+r_1^2\), значит \(XO_1^2-r_1^2= ho^2\). Аналогично \(XO_2^2-r_2^2= ho^2\). Следовательно, степени точки \(X\) относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равны, и \(X\) лежит на радикальной оси.

Пусть центры окружностей \(\gamma_1\) и \(\gamma_2\) — точки \(X_1\) и \(X_2\). Так как \(\gamma_1\) ортогональна обеим данным окружностям, по предыдущему факту \(X_1\) лежит на их радикальной оси. Аналогично \(X_2\) лежит на той же радикальной оси. Следовательно, оба центра лежат на одной радикальной оси.

Так как \(P\) лежит на радикальной оси, степени точки \(P\) относительно двух окружностей равны. Но эти степени равны \(PT_1^2\) и \(PT_2^2\). Значит \(PT_1^2=PT_2^2\), а длины положительны, поэтому \(PT_1=PT_2\).

Равенство касательных из точки \(P\) означает равенство степеней \(P\) относительно двух окружностей, значит \(P\) лежит на радикальной оси. Аналогично \(Q\) лежит на этой же оси. Поэтому прямая \(PQ\) и есть радикальная ось. Радикальная ось двух неконцентрических окружностей перпендикулярна линии центров, следовательно \(PQ\perp O_1O_2\).

Произведение \(RA_i\cdot RB_i\) равно степени точки \(R\) относительно окружности \(\omega_i\). По условию все три степени равны. Значит \(R\) имеет равные степени относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\), относительно \(\omega_2\) и \(\omega_3\), а также относительно \(\omega_1\) и \(\omega_3\). Следовательно, \(R\) лежит на всех трёх радикальных осях.

Общая касательная в \(A\) является радикальной осью \(\omega_1\) и \(\omega_2\), значит \(R\) лежит на этой оси. Общая касательная в \(B\) является радикальной осью \(\omega_2\) и \(\omega_3\), значит \(R\) лежит и на ней. По теореме о радикальном центре \(R\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_3\).

Так как \(R\) — радикальный центр, его степени относительно \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) равны. Для каждой окружности степень точки \(R\) равна произведению отрезков любой секущей через \(R\): \(RA_i\cdot RB_i\). Поэтому все три произведения равны.

Так как общая степень равна \(\rho^2\), имеем \(XO_1^2-r_1^2= ho^2\) и \(XO_2^2-r_2^2= ho^2\). Значит \(XO_1^2= ho^2+r_1^2\) и \(XO_2^2= ho^2+r_2^2\). Это ровно условие ортогональности окружности с центром \(X\) и радиусом \(\rho\) к каждой из данных окружностей.

Пусть \(X\) — центр одной из окружностей, ортогональных к \(\omega_1\) и \(\omega_2\). По задаче о центре ортогональной окружности \(X\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_2\). То же верно для центра любой другой такой окружности. Следовательно, все эти центры лежат на одной прямой — радикальной оси фиксированных окружностей.

Пусть радиус \(\gamma\) равен \(\rho\). Если \(\gamma\) ортогональна \(\omega_i(O_i,r_i)\), то \(XO_i^2= ho^2+r_i^2\), откуда \(XO_i^2-r_i^2= ho^2\). Значит степени точки \(X\) относительно всех трёх окружностей равны. Поэтому \(X\) лежит на каждой попарной радикальной оси, то есть является радикальным центром.