Задача
GEO-B2-M02-P023 Касательная из произведения
Точка \(P\) лежит вне окружности, а секущая \(PAB\) пересекает её в точках \(A\) и \(B\), где \(A\) ближе к \(P\). Точка \(T\) лежит на окружности и удовлетворяет равенству \(PT^2=PA\cdot PB\). Докажите, что прямая \(PT\) касается окружности.
Если \(PT\) не касательная, то она пересекает окружность ещё в одной точке \(U\).
Предположим, что \(PT\) не касательная. Тогда прямая \(PT\) пересекает окружность ещё в точке \(U\). По теореме о секущих \(PT\cdot PU=PA\cdot PB\). По условию \(PT^2=PA\cdot PB\), значит \(PT\cdot PU=PT^2\), откуда \(PU=PT\). Но на луче из \(P\) точка окружности на расстоянии \(PT\) уже есть — это \(T\), значит \(U=T\), противоречие двум различным точкам пересечения. Следовательно, \(PT\) касается окружности.
Задача требует аккуратного обратного понимания формулы касательной.