Задача
GEO-B2-M06-P016 Почему работает Менелай
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) прямая \(l\) пересекает прямые \(BC,CA,AB\) соответственно в \(D,E,F\). Докажите направленную форму Менелая: \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1\).
Сравните направленные расстояния от вершин \(A,B,C\) до прямой \(l\).
Обозначим направленные расстояния от \(A,B,C\) до прямой \(l\) через \(h_A,h_B,h_C\). Так как \(D\) лежит на \(BC\) и на \(l\), точка \(D\) делит \(BC\) в отношении направленных расстояний до \(l\): \(\frac{BD}{DC}=-\frac{h_B}{h_C}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=-\frac{h_C}{h_A}\) и \(\frac{AF}{FB}=-\frac{h_A}{h_B}\). Перемножая, получаем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=-1\).
Это доказательство полезно для сильных учеников: оно объясняет знак в формуле.