Базовые построения и вспомогательные линии

Диагонали четырёхугольника \(ABDC\) — это \(AD\) и \(BC\). По построению \(AM=MD\), а по условию \(BM=MC\). Значит диагонали делятся точкой \(M\) пополам. Поэтому \(ABDC\) — параллелограмм.

Так как \(DE\parallel BC\), треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны. Поскольку \(D\) — середина \(AB\), \(AD:AB=1:2\). Следовательно, \(AE:AC=1:2\), то есть \(AE=EC\). Значит \(E\) — середина \(AC\).

Множество точек, из которых отрезок \(AB\) виден под прямым углом, является окружностью с диаметром \(AB\). Так как \(\angle ACB=90^\circ\), точка \(C\) лежит на этой окружности.

По построению \(BD\parallel AC\) и \(CD\parallel AB\). Следовательно, в четырёхугольнике \(ABDC\) обе пары противоположных сторон параллельны. Значит \(ABDC\) — параллелограмм.

Так как \(M\) — середина \(BC\), имеем \(BM=MC\). Так как \(D\) симметрична \(A\) относительно \(M\), имеем \(AM=MD\). Значит точка \(M\) делит пополам диагонали \(BC\) и \(AD\) четырёхугольника \(ABDC\).

Так как \(D\) лежит на луче \(BA\), \(\angle DBC=\angle ABC=52^\circ\). В треугольнике \(BCD\) стороны \(BD\) и \(BC\) равны, поэтому \(\angle BCD=\angle CDB\). Тогда \(\angle BCD=\frac{180^\circ-52^\circ}{2}=64^\circ\).

Так как \(DE\parallel AB\), треугольники \(CDE\) и \(CBA\) подобны. Имеем \(CD:CB=3:5\), значит \(CE:CA=3:5\). Тогда \(CE:EA=3:2\).

Построим окружность с диаметром \(AB\). Так как \(\angle ACB=90^\circ\), точка \(C\) лежит на этой окружности. Так как \(\angle ADB=90^\circ\), точка \(D\) также лежит на этой окружности. Следовательно, \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

По построению \(ABDC\) — параллелограмм. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Диагонали здесь — \(AD\) и \(BC\). Значит точка пересечения \(AD\) и \(BC\) является серединой \(BC\).

Построим окружность через \(A,B,C\). На одной стороне от \(AB\) все точки, из которых отрезок \(AB\) виден под углом \(\angle ACB\), лежат на одной дуге этой окружности. Так как \(\angle ADB=\angle ACB\), точка \(D\) лежит на этой окружности. Значит \(A,B,C,D\) цикличны.

Построим точку \(P\) на продолжении \(MN\) так, что \(NP=MN\). В треугольниках \(AMN\) и \(CNP\) имеем \(AN=NC\), \(MN=NP\), а углы при \(N\) вертикальные. Значит треугольники равны, поэтому \(AM=CP\) и \(AM\parallel CP\). Так как \(AM=MB\), получаем \(CP=MB\) и \(CP\parallel MB\), значит \(BMCP\) — параллелограмм. Следовательно, \(MP\parallel BC\), а значит \(MN\parallel BC\).

Имеем \(AM=MD\) по построению, \(BM=MC\), потому что \(M\) — середина \(BC\), и \(\angle AMB=\angle DMC\) как вертикальные. Поэтому \(\triangle ABM\cong\triangle DCM\) по двум сторонам и углу между ними.

Как в базовом построении, \(ABDC\) — параллелограмм. Поэтому \(BD=AC\) и \(CD=AB\). По условию \(AB=AC\), значит \(BD=CD\).

Так как \(DE\parallel AC\), треугольники \(BDE\) и \(BAC\) подобны. Из \(BD:BA=1:2\) следует \(BE:BC=1:2\). Значит \(BE=EC\), то есть \(E\) — середина \(BC\).

Так как \(E\) лежит на \(AC\), сторона \(AE\) параллельна прямой через \(D\), параллельной \(AC\), то есть \(DF\). Так как \(F\) лежит на \(AB\), сторона \(AF\) параллельна прямой через \(D\), параллельной \(AB\), то есть \(DE\). Значит \(AE\parallel DF\) и \(AF\parallel DE\), поэтому \(AEDF\) — параллелограмм.

Так как \(BD\perp AC\), а \(D\in AC\), получаем \(\angle BDC=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), а \(E\in AB\), получаем \(\angle BEC=90^\circ\). Значит точки \(D\) и \(E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\). Следовательно, \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.

Имеем \(AM=MD\), \(BM=MC\), а \(\angle AMB=\angle DMC\) как вертикальные. Значит \(\triangle ABM\cong\triangle DCM\). Поэтому \(\angle ABM=\angle DCM\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(BC\), значит \(AB\parallel CD\).

В параллелограмме противоположные стороны равны. Поэтому в \(ABDC\) имеем \(AB=CD\) и \(AC=BD\). Именно поэтому достроенный параллелограмм часто позволяет перенести отрезок в удобное место.

Углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) — вписанные и опираются на одну хорду \(AC\). Поэтому они равны. В похожих задачах окружность полезна именно тем, что позволяет заменить один угол другим, который находится в более удобном месте рисунка.

Так как \(DE\parallel AC\), \(\triangle BDE\sim\triangle BCA\). Из \(BD:DC=1:2\) получаем \(BD:BC=1:3\). Поэтому площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: \(S_{BDE}:S_{ABC}=1:9\).

Проведём \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) — средняя линия, значит \(MN\parallel AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) — средняя линия, значит \(PQ\parallel AC\). Следовательно, \(MN\parallel PQ\). Аналогично, проведя \(BD\), получаем \(NP\parallel MQ\). Значит \(MNPQ\) — параллелограмм.

Проведём \(AC\), пусть \(P\) — её середина. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MP\) — средняя линия, поэтому \(MP\parallel BC\). В треугольнике \(ACD\) отрезок \(PN\) — средняя линия, поэтому \(PN\parallel AD\). Так как \(AD\parallel BC\), прямые \(MP\) и \(PN\) совпадают. Значит \(M,P,N\) лежат на одной прямой, и \(MN\parallel AD\).

Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) прямоугольные. У них \(BM=CM\), потому что \(M\) — середина, и \(AM\) — общая сторона. Значит треугольники равны по двум катетам, откуда \(AB=AC\). Здесь естественное действие — сразу искать равные треугольники около построенной медианы.

Так как \(M\) — середина \(BC\), имеем \(MB=MC\). По условию \(AM=BM\). Значит \(MA=MB=MC\), и точки \(A,B,C\) лежат на окружности с центром \(M\). При этом \(BC\) — диаметр этой окружности. Угол \(\angle BAC\) опирается на диаметр, поэтому \(\angle BAC=90^\circ\).

Проведём \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), имеем \(\angle BAC=\angle ACD\). Также \(AB=CD\), а \(AC\) — общая сторона. Поэтому \(\triangle BAC\cong\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними. Значит \(\angle BCA=\angle CAD\), откуда \(BC\parallel AD\). Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.

Естественное построение: взять точку \(D\) на продолжении \(AM\) за \(M\) так, что \(MD=AM\). Тогда \(AM=MD\), \(BM=MC\), а \(\angle AMB=\angle DMC\) как вертикальные. Поэтому \(\triangle ABM\cong\triangle DCM\). Аналогично \(\triangle ACM\cong\triangle DBM\). Значит построение создаёт две пары равных треугольников и параллелограмм \(ABDC\).