Площади I

По формуле площади \(S=\frac{1}{2}\cdot18\cdot7=63\).

Оба треугольника имеют высоту из точки \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому их площади относятся как основания на этой прямой: \(S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC\).

Так как \(M\) — середина \(BC\), то \(BM=CM\). Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) имеют общую высоту из \(A\) к прямой \(BC\). Следовательно, их площади равны.

Треугольники \(ABC\) и \(ABD\) имеют общее основание \(AB\). Высоты из \(C\) и \(D\) к \(AB\) равны, потому что эти точки лежат на прямой, параллельной \(AB\). Значит площади равны.

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм. Диагональ \(AC\) делит его на треугольники \(ABC\) и \(ACD\). У них общее основание \(AC\), а высоты из \(B\) и \(D\) к \(AC\) равны, поскольку \(AB\parallel CD\). Значит площади этих треугольников равны.

Так как \(BD:DC=3:4\), то \(BD:BC=3:7\). Треугольники \(ABD\) и \(ABC\) имеют общую высоту из \(A\) к \(BC\). Поэтому \(S_{ABD}:S_{ABC}=BD:BC=3:7\).

Так как \(CD\parallel AB\), точки \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой, параллельной основанию \(AB\). Поэтому высоты к основанию \(AB\) равны. Основание общее, значит площади равны.

Медиана \(AM\) делит треугольник на два равновеликих треугольника. Поэтому \(S_{ABM}=\frac{84}{2}=42\).

Имеем \(BD=\frac{1}{2}BA\) и \(BE=\frac{1}{2}BC\), а угол при \(B\) общий. Площадь уменьшается в \(2\cdot2=4\) раза. Поэтому \(S_{BDE}=\frac{64}{4}=16\).

Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) имеют основания \(BC\) и \(AD\) на параллельных прямых, а высоты к этим основаниям равны расстоянию между основаниями трапеции. Поэтому \(S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=9:15=3:5\).

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общую высоту из \(A\). Поэтому \(BD:DC=S_{ABD}:S_{ACD}=24:40=3:5\).

Так как основание \(AB\) общее и площади равны, высоты из \(C\) и \(D\) к \(AB\) равны. Точки на одной стороне от \(AB\), находящиеся на одинаковом расстоянии от \(AB\), лежат на прямой, параллельной \(AB\). Значит \(CD\parallel AB\).

Обозначим площади \(AGF\), \(BGF\), \(BGD\), \(CGD\), \(CGE\), \(AGE\) по порядку через \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\). Так как \(F,D,E\) — середины сторон, получаем \(x_1=x_2\), \(x_3=x_4\), \(x_5=x_6\). Медиана \(AD\) делит весь треугольник пополам, поэтому \(x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6\). Медиана \(BE\) даёт \(x_1+x_2+x_6=x_3+x_4+x_5\). Подставляя попарные равенства, получаем \(x_1=x_5\) и \(x_1=x_3\). Значит все шесть площадей равны.

Так как \(DE\parallel BC\), \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\). Имеем \(AD:AB=2:5\). Поэтому отношение площадей равно квадрату отношения сторон: \(S_{ADE}:S_{ABC}=4:25\).

Треугольники \(ABD\), \(ADE\), \(AEC\) имеют основания \(BD\), \(DE\), \(EC\) на одной прямой \(BC\) и общую высоту из \(A\). Так как основания равны, площади равны.

Пусть \(AP:PC=t:(1-t)\). В треугольнике \(ABC\) имеем \(S_{ABP}:S_{PBC}=AP:PC\), поэтому \(S_{ABP}=tS_{ABC}\). Аналогично в треугольнике \(ACD\) получаем \(S_{ADP}=tS_{ACD}\). Но диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника: \(S_{ABC}=S_{ACD}\). Значит \(S_{ABP}=S_{ADP}\).

Так как \(DE\parallel AC\), \(\triangle BDE\sim\triangle BCA\). Имеем \(BD:BC=2:5\). Поэтому площади относятся как квадраты соответствующих сторон: \(S_{BDE}:S_{ABC}=4:25\).

Поскольку \(P\) лежит на \(AM\), прямая \(AP\) совпадает с медианой и проходит через середину \(M\) стороны \(BC\). Треугольники \(PAB\) и \(PAC\) имеют общее основание \(AP\). Точки \(B\) и \(C\) находятся на равных расстояниях от прямой \(AP\), поэтому площади равны.

Треугольники \(PAB\) и \(PAC\) имеют общее основание \(AP\). Из равенства площадей следует, что расстояния от \(B\) и \(C\) до прямой \(AP\) равны. Так как точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(AP\), прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\). Значит \(AP\) — медиана.

Треугольники \(BCE\) и \(BCA\) имеют общее основание \(BC\). Так как \(AE:ED=1:2\), точка \(E\) находится на \(\frac{1}{3}\) пути от \(A\) к \(D\), где \(D\) лежит на \(BC\). Поэтому высота из \(E\) к \(BC\) равна \(\frac{2}{3}\) высоты из \(A\). Значит \(S_{BCE}=\frac{2}{3}\cdot90=60\).

Из равенства \(S_{PAB}=S_{PCA}\) следует, что прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\), то есть \(AP\) — медиана. Из равенства \(S_{PAB}=S_{PBC}\) следует, что \(BP\) проходит через середину \(AC\), то есть \(BP\) — медиана. Следовательно, \(P\) является пересечением двух медиан, а значит точкой пересечения медиан треугольника.

Треугольники \(BCE\) и \(BCA\) имеют общее основание \(BC\). Высота точки \(E\) к \(BC\) составляет \(ED:AD\) от высоты точки \(A\), потому что \(D\) лежит на \(BC\). Из \(AE:ED=3:2\) получаем \(ED:AD=2:5\). Поэтому \(S_{BCE}=\frac{2}{5}\cdot120=48\).

Пусть угол между диагоналями равен \(\varphi\). Тогда \(S_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO\sin\varphi\), \(S_{COD}=\frac{1}{2}CO\cdot DO\sin\varphi\). Аналогично \(S_{BOC}=\frac{1}{2}BO\cdot CO\sin\varphi\), \(S_{DOA}=\frac{1}{2}DO\cdot AO\sin\varphi\). Произведения левых и правых выражений одинаковы, значит требуемое равенство доказано.

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\). Высоты из \(B\) и \(C\) к \(AD\) равны, так как \(BC\parallel AD\). Поэтому \(S_{ABD}=S_{ACD}\). Вычтем из обеих площадей общий треугольник \(AOD\): получим \(S_{AOB}=S_{COD}\).

Треугольники \(BDE\) и \(BCA\) подобны, потому что \(DE\parallel AC\). Коэффициент подобия равен \(BD:BC=2:5\). Поэтому \(S_{BDE}:S_{ABC}=4:25\). Оставшаяся часть \(ADEC\) имеет площадь \(21\) долю из \(25\). Значит \(S_{BDE}:S_{ADEC}=4:21\).

Пусть расстояния от \(P\) до прямых \(AB\) и \(CD\) равны \(h_1\) и \(h_2\). Тогда \(h_1+h_2\) равно высоте параллелограмма к основанию \(AB\). Поэтому \(S_{PAB}+S_{PCD}=\frac{1}{2}AB\cdot h_1+\frac{1}{2}CD\cdot h_2\). Так как \(AB=CD\), получаем \(\frac{1}{2}AB(h_1+h_2)=\frac{1}{2}S_{ABCD}\).

Так как \(P,A,D\) лежат на одной прямой, треугольники \(ABP\) и \(PBD\) имеют высоты к этой прямой из точки \(B\), а треугольники \(ACP\) и \(PCD\) — высоты из точки \(C\). Из равенства долей на одной прямой следует \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABP}}{S_{ACP}}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}\) и \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACP}}{S_{BCP}}\). Перемножая, получаем \(1\).

По площадной форме теоремы Чевы имеем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Подставляем: \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{AF}{FB}=1\). Получаем \(\frac{1}{2}\cdot\frac{AF}{FB}=1\), значит \(AF:FB=2:1\).

Так как \(G\) лежит на медиане из \(A\), имеем \(S_{GAB}=S_{GAC}\). Так как \(G\) лежит на медиане из \(B\), имеем \(S_{GAB}=S_{GBC}\). Значит \(S_{GAC}=S_{GBC}\). Треугольники \(GAC\) и \(GBC\) имеют общее основание \(GC\), поэтому точки \(A\) и \(B\) находятся на равных расстояниях от прямой \(GC\). Следовательно, прямая \(GC\) проходит через середину \(AB\), то есть \(AF=FB\).

Имеем \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=1\). По обратной форме площадной теоремы Чевы из равенства произведения \(1\) следует, что прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны, то есть пересекаются в одной точке.

E. Подробное решение.

Предположим, что такой квадрат составлен, и пусть \(1\times n\) — самый длинный выбранный прямоугольник. Так как площадь квадрата больше \(1\), имеем \(n>1\).

Прямоугольник \(1\times n\) должен поместиться в квадрат, даже если его повернуть. Поэтому сторона квадрата не меньше \(n\), а площадь квадрата не меньше \(n^2\).

С другой стороны, среди выбранных прямоугольников могут быть только прямоугольники \(1\times1,1\times2,\ldots,1\times n\). Их суммарная площадь не превосходит \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).

При \(n>1\) выполняется \(\frac{n(n+1)}{2}

Следовательно, составить квадрат площади больше \(1\) невозможно.