Задача
GEO-B1-M07-P025 Скрытый параллелограмм из одной пары сторон
#25
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB=CD\) и \(AB\parallel CD\). Проведите диагональ \(AC\) и докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм.
После проведения диагонали ищите равные треугольники.
Проведём \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), имеем \(\angle BAC=\angle ACD\). Также \(AB=CD\), а \(AC\) — общая сторона. Поэтому \(\triangle BAC\cong\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними. Значит \(\angle BCA=\angle CAD\), откуда \(BC\parallel AD\). Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.
Диагональ превращает задачу о четырёхугольнике в задачу о равных треугольниках.