Задача
NT-B1-M03-P021 Уравнение \(x^2+y^2=3z^2\)
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что единственное целочисленное решение уравнения \(x^2+y^2=3z^2\) - это \(x=y=z=0\).
Сначала докажите, что из делимости \(x^2+y^2\) на \(3\) следует \(3\mid x\) и \(3\mid y\).
Из уравнения следует \(3\mid x^2+y^2\). По таблице квадратов modulo \(3\) получаем \(3\mid x\) и \(3\mid y\). Пусть \(x=3x_1\), \(y=3y_1\). Тогда \(9x_1^2+9y_1^2=3z^2\), значит, \(z^2=3(x_1^2+y_1^2)\), и \(3\mid z\). Получаем, что все \(x,y,z\) делятся на \(3\). Если есть ненулевое решение, можно делить все три числа на \(3\) бесконечно, что невозможно для ненулевых целых чисел. Значит, ненулевых решений нет.
Это preview спуска; основной модуль спуска будет позже.