Задача
NT-B1-M10-P024 Кратное \(2026\) с цифрами \(0\) и \(1\)
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что существует натуральное число, состоящее только из цифр \(0\) и \(1\), которое делится на \(2026\).
Сначала постройте число из единиц, кратное \(1013\), затем добавьте последнюю цифру \(0\).
Имеем \(2026=2\cdot1013\), причём \(\gcd(1013,10)=1\). По задаче о репьюнитах существует \(R_n\), делящееся на \(1013\). Тогда число \(10R_n\) получается добавлением нуля справа к числу из единиц, поэтому состоит только из цифр \(0\) и \(1\). Оно делится на \(10\), значит на \(2\), и делится на \(1013\). Следовательно, оно делится на \(2026\).
Сильная задача на адаптацию конструкции при наличии общего множителя с \(10\).