Задача
GEO-B2-M03-P022 Обратная задача об ортогональной окружности
#22
★★★★★ Уровень 5 из 5
Точка \(X\) лежит на радикальной оси окружностей \(\omega_1(O_1,r_1)\) и \(\omega_2(O_2,r_2)\). Общая степень точки \(X\) относительно этих окружностей положительна и равна \(\rho^2\). Докажите, что окружность с центром \(X\) и радиусом \(\rho\) ортогональна обеим данным окружностям.
Из \(XO_i^2-r_i^2= ho^2\) получите \(XO_i^2= ho^2+r_i^2\).
Так как общая степень равна \(\rho^2\), имеем \(XO_1^2-r_1^2= ho^2\) и \(XO_2^2-r_2^2= ho^2\). Значит \(XO_1^2= ho^2+r_1^2\) и \(XO_2^2= ho^2+r_2^2\). Это ровно условие ортогональности окружности с центром \(X\) и радиусом \(\rho\) к каждой из данных окружностей.
Это задача на обратное понимание связи радикальной оси и ортогональных окружностей.