#9 Условия-неравенства в функциональных уравнениях

Так как \(f\) возрастает и аддитивна, \(f(x)=cx\). Из \(f(1)=4\) получаем \(c=4\). Ответ: \(f(x)=4x\).

Аддитивная функция, ограниченная на интервале, непрерывна. Поэтому \(f(x)=cx\). Из \(f(1)=3\) получаем \(f(x)=3x\).

Если \(x

Если \(f(a)>0\), то \(f(na)=nf(a)\) станет больше \(100\) при больших \(n\), противоречие. Если \(f(a)<0\), то \(f((-n)a)=-nf(a)\) станет больше \(100\). Значит, \(f(a)=0\) для всех \(a\).

Если \(f(a)>a\), то \(f(f(a))>f(a)\), то есть \(a>f(a)\), противоречие. Если \(f(a)

Из ограниченности на интервале следует линейность: \(f(x)=cx\). Так как \(f(2)=10\), имеем \(2c=10\), \(c=5\). Ответ: \(f(x)=5x\).

Для \(x\) имеем \(f(x)\ge x\). Для \(-x\): \(f(-x)\ge -x\), то есть \(-f(x)\ge -x\), значит \(f(x)\le x\). Следовательно, \(f(x)=x\) для всех \(x\).

Положим \(g(x)=f(x)-f(0)\). Тогда \(g(0)=0\), \(g\) удовлетворяет тому же Jensen-уравнению и ограничена сверху на интервале. Стандартный результат даёт непрерывность и линейность \(g(x)=ax\). Поэтому \(f(x)=ax+b\).

Функция строго возрастает и аддитивна, значит линейна: \(f(x)=cx\). Из \(f(1)=1\) получаем \(c=1\). Ответ: \(f(x)=x\).

Неотрицательность на положительной полуоси даёт неубывание. Значит, аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Из \(0\le f(1)\le1\) получаем \(0\le c\le1\).

Для \(q>0\): \(qf(x)=f(qx)\le q^2x^2\). Делим на \(q\): \(f(x)\le qx^2\). При \(q\to0+\) получаем \(f(x)\le0\). Применяя это к \(-x\), имеем \(-f(x)\le0\), то есть \(f(x)\ge0\). Значит, \(f(x)=0\).

Пусть \(x e0\). Для \(q>0\) имеем \(qf(x)=f(qx)\ge q^2x^2\), значит \(f(x)\ge qx^2\). При \(q\to\infty\) правая часть неограниченно растёт, что невозможно для фиксированного \(f(x)\). Противоречие.

Неубывающая аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\), \(c\ge0\). Тогда \(cxy=c^2xy\) для всех \(x,y\), значит \(c=0\) или \(c=1\). Ответ: \(f\equiv0\) и \(f(x)=x\).

Если \(f(a)>0\), то при больших отрицательных \(n\) число \(nf(a)<-1\), то есть \(f(na)<-1\), противоречие. Если \(f(a)<0\), берём большие положительные \(n\). Поэтому \(f(a)=0\) для любого \(a\).

Положим \(g(x)=f(x)-f(0)\). Тогда \(g(0)=0\), \(g\) удовлетворяет Jensen-уравнению и неубывает. По стандартному факту Jensen-функция с монотонностью линейна: \(g(x)=ax\). Следовательно, \(f(x)=ax+b\).

Из \(|f(x)|\le2|x|\) следует ограниченность на \([-1,1]\), значит \(f(x)=cx\). Условие превращается в \(|c||x|\le2|x|\), то есть \(|c|\le2\). Ответ: все \(f(x)=cx\), где \(|c|\le2\).

Если \(x0\), и \(f(y)-f(x)=f(y-x)>0\). Значит, \(f\) строго возрастает. Строго возрастающая аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Из \(f(1)=1\) получаем \(c=1\).

Из верхней оценки, как в предыдущей задаче, для \(q>0\): \(qf(x)=f(qx)\le q^2x^2\), значит \(f(x)\le qx^2\). При \(q\to0+\) получаем \(f(x)\le0\). Применяем то же к \(-x\): \(f(-x)\le0\), то есть \(-f(x)\le0\), значит \(f(x)\ge0\). Следовательно, \(f(x)=0\).

При \(y=x\): \(f(x)^2\ge x^2\), это не даёт ограниченности. Но при \(y=-x\): \(f(x)f(-x)\ge -x^2\), то есть \(-f(x)^2\ge -x^2\), откуда \(f(x)^2\le x^2\). Значит, \(f\) ограничена на \([-1,1]\), поэтому \(f(x)=cx\). Условие становится \(c^2xy\ge xy\) для всех \(x,y\). При \(xy>0\) получаем \(c^2\ge1\), при \(xy<0\) получаем \(c^2\le1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).

При \(y=x\): \(f(x)^2\le x^2\). Следовательно, \(|f(x)|\le1\) на \([-1,1]\), и аддитивная функция ограничена на интервале. Значит, \(f(x)=cx\). Подставляем: \(c^2xy\le xy\) для всех \(x,y\). Если \(xy>0\), то \(c^2\le1\). Если \(xy<0\), при делении знак меняется, и \(c^2\ge1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\). Проверка очевидна.