Задача
ALG-B3-M09-P011 Квадратичная верхняя оценка
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f\) аддитивна и \(f(x)\le x^2\) для всех \(x\). Докажите, что \(f\equiv0\).
Замените \(x\) на \(qx\) и устремите \(q\to0+\).
Для \(q>0\): \(qf(x)=f(qx)\le q^2x^2\). Делим на \(q\): \(f(x)\le qx^2\). При \(q\to0+\) получаем \(f(x)\le0\). Применяя это к \(-x\), имеем \(-f(x)\le0\), то есть \(f(x)\ge0\). Значит, \(f(x)=0\).
Ключевой scale trick.