Задача
GEO-B3-M03-P010 Две касательные и два пересечения хорд
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности. Касательные в \(A\) и \(C\) пересекаются в точке \(X\). Пусть \(Y=AB\cap CD\), \(Z=AD\cap BC\). Докажите, что \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Пусть \(T=AC\cap BD\). Какая поляра у \(T\)?
D. Подсказка 2. Используйте самополярность диагонального треугольника.
E. Полное решение.
Пусть \(T=AC\cap BD\). Для полного четырёхугольника \(ABCD\) диагональный треугольник самополярен, поэтому поляра точки \(T\) есть прямая \(YZ\).
Так как \(T,A,C\) коллинеарны, а \(X\) - пересечение касательных в \(A\) и \(C\), точка \(X\) лежит на поляре \(T\). Следовательно, \(X\in YZ\). Значит, \(X,Y,Z\) лежат на одной прямой.
Это та же идея, что вырожденный Паскаль, но в языке поляр она становится почти мгновенной.