Задача
GEO-B3-M03-P011 Две секущие из одной точки
B. Новая оригинальная задача. Через точку \(P\) проведены две секущие окружности, пересекающие её в точках \(A,B\) и \(C,D\). Пусть \(Q=AC\cap BD\), \(R=AD\cap BC\). Докажите, что \(Q\) и \(R\) лежат на поляре точки \(P\).
C. Подсказка 1. Рассмотрите полный четырёхугольник \(ABCD\).
D. Подсказка 2. В нём \(P=AB\cap CD\), поэтому поляра \(P\) - третья сторона диагонального треугольника.
E. Полное решение.
Точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности. В полном четырёхугольнике \(ABCD\) диагональные точки равны
\[ P=AB\cap CD,\quad Q=AC\cap BD,\quad R=AD\cap BC. \]
По самополярности диагонального треугольника поляра точки \(P\) есть прямая \(QR\). Следовательно, обе точки \(Q\) и \(R\) лежат на поляре \(P\).
Это упражнение делает лемму полного четырёхугольника рабочим инструментом.