Задача
GEO-B3-M03-P009 Точка на хорде касания
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
B. Новая оригинальная задача. Из точки \(P\) проведены касательные к окружности \(\omega\), касающиеся её в \(A\) и \(B\). Точка \(Q\) лежит на прямой \(AB\). Докажите, что \(P\) лежит на поляре точки \(Q\).
Inspired by Prasolov poles and polars method
C. Подсказка 1. Что является полярой \(P\)?
D. Подсказка 2. Если \(Q\) лежит на поляре \(P\), примените La Hire.
E. Полное решение.
Прямая \(AB\) является полярой точки \(P\). По условию \(Q\in AB\), то есть \(Q\) лежит на поляре \(P\).
По теореме Ла Ира точка \(P\) лежит на поляре \(Q\). Это и требовалось доказать.
Эта задача полезна для распознавания: любая точка на хорде касания имеет поляру через исходную внешнюю точку.