Задача
GEO-B1-M08-P026 Площадная форма Чевы
#26
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке \(P\), где \(D\) лежит на \(BC\), \(E\) на \(CA\), \(F\) на \(AB\). Докажите, что \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\).
Выразите отношения отрезков через отношения площадей треугольников с вершиной \(P\).
Через площади получаем \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABP}}{S_{ACP}}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACP}}{S_{BCP}}\). Перемножая три равенства, все площади сокращаются, и получается \(1\).
Challenge-задача: мост к Book 2, но решается только площадями.