Задача
GEO-B1-M08-P025 Параллель через пересечение диагоналей
#25
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=12\), \(BC=6\). Диагонали пересекаются в \(O\). Через \(O\) проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая \(AB\) и \(CD\) в \(X\) и \(Y\). Найдите \(XY\).
Сначала найдите, как точка \(O\) делит диагонали.
Пусть \(AD=a\), \(BC=b\). Из подобия \(AOD\sim COB\) получаем \(DO:OB=a:b\). В треугольнике \(DBA\) отрезок \(OX\parallel AD\), поэтому \(OX=\frac{ab}{a+b}\). Аналогично в треугольнике \(DBC\) получаем \(OY=\frac{ab}{a+b}\). Значит \(XY=\frac{2ab}{a+b}\). При \(a=12\), \(b=6\) получаем \(XY=8\).
Сильная задача на трапецию: подобие используется дважды.