Задача
GEO-B1-M05-P031 Перпендикуляры к двум хордам
Точки \(A,B,C\) лежат на одной окружности. Прямая \(\ell\) касается окружности в точке \(B\). На прямой \(\ell\) выбрана точка \(P\). Из \(P\) опущены перпендикуляры \(PX\) и \(PY\) на прямые \(AB\) и \(CB\) соответственно, причём \(X\in AB\), \(Y\in CB\). Докажите, что \(XY\perp AC\).
C. Подсказка 1. Сначала докажите, что \(P,X,B,Y\) лежат на одной окружности.
D. Подсказка 2. Затем используйте угол между касательной и хордой.
E. Подробное решение.
Так как \(PX\perp AB\) и \(PY\perp CB\), имеем \(\angle PXB=\angle PYB=90^\circ\). Следовательно, точки \(P,X,B,Y\) лежат на одной окружности с диаметром \(PB\).
Из этой цикличности \(\angle XYB=\angle XPB\), так как оба угла опираются на хорду \(XB\). Поэтому угол между \(XY\) и \(CB\) равен углу между \(XP\) и касательной \(PB\).
Так как \(XP\perp AB\), угол между \(XP\) и \(PB\) равен \(90^\circ-\angle ABP\). По теореме о касательной и хорде \(\angle ABP=\angle ACB\).
Значит, угол между \(XY\) и \(CB\) равен \(90^\circ-\angle ACB\). Это ровно означает, что \(XY\) перпендикулярна \(AC\).
A. Анализ источника. Основные объекты: касательная, две проекции, вписанный четырёхугольник. Очевидный подход — гонять углы в исходной окружности, но скрытая окружность проходит через \(P,X,B,Y\). Ключевых идей: 3.
F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача с одной скрытой цикличностью и теоремой о касательной и хорде.
G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: перпендикулярность получается только после построения второй окружности и переноса угла через касательную.