GEO-B1-M05-P032 Операция с серединным перпендикуляром

C. Подсказка 1. Докажите от противного: пусть исходные точки не лежали на одной прямой.

D. Подсказка 2. Тогда у исходных точек есть общая окружность. Проверьте, что операция сохраняет эту окружность.

E. Подробное решение.

Предположим, что три исходные точки не были коллинеарны. Тогда через них проходит единственная окружность \(\omega\).

Докажем индукцией, что каждая новая отмеченная точка тоже лежит на \(\omega\). Пусть выбраны точки \(A,B,C\), уже лежащие на \(\omega\), и точка \(D\) получается отражением \(A\) относительно серединного перпендикуляра к \(BC\).

Серединный перпендикуляр к хорде \(BC\) проходит через центр окружности \(\omega\). Значит, окружность \(\omega\) симметрична относительно этой прямой. Поэтому отражение точки \(A\), лежащей на \(\omega\), снова лежит на \(\omega\). То есть \(D\in\omega\).

Следовательно, все отмеченные точки лежат на одной окружности. Но прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек, если не считать совпадения прямой с окружностью, что невозможно. Поэтому три различные отмеченные точки не могли стать коллинеарными. Противоречие.

Значит, если три коллинеарные точки всё-таки появились, три исходные точки должны были быть коллинеарны.

A. Анализ источника. Основные объекты: серединный перпендикуляр, отражение, общая окружность. Очевидный подход — отслеживать координаты точек, но скрытое наблюдение: операция сохраняет окружность через исходные точки. Ключевых идей: 2.

F. Обоснование сложности. Это уровень 6: региональная задача на инвариант окружности при отражении.

G. Проверка. Это не одношаговое упражнение: нужно выбрать инвариант и доказать его сохранение на каждом шаге.