Задача
GEO-B1-M05-P030 Две скрытые цикличности
#30
★★★★★ Уровень 5 из 5
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(BD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(H\). Докажите, что \(\angle ADE=\angle AHE\).
Сначала докажите, что \(A,D,H,E\) лежат на одной окружности.
Так как \(BD\perp AC\), имеем \(\angle ADH=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), имеем \(\angle AEH=90^\circ\). Значит \(A,D,H,E\) лежат на окружности с диаметром \(AH\). В этой окружности углы \(\angle ADE\) и \(\angle AHE\) опираются на одну и ту же хорду \(AE\). Следовательно, \(\angle ADE=\angle AHE\).
Финальная задача модуля: сначала нужно построить окружность, затем использовать главный шаблон равных углов на одной хорде.