Задача
ALG-B3-M10-P016 Сюръективная форма с коэффициентом
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все возрастающие \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(f(x)+y)=x+f(y)\).
Докажите \(f(0)=0\), затем аддитивность.
При \(y=0\): \(f(f(x))=x+f(0)\), откуда следует инъективность и сюръективность. При \(x=0\): \(f(f(0)+y)=f(y)\), значит \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(x))=x\). Подстановка \(y=f(t)\) даёт \(f(f(x)+f(t))=x+t=f(f(x+t))\), поэтому \(f(x)+f(t)=f(x+t)\). Функция аддитивна и возрастает, значит \(f(x)=cx\). Из \(f(f(x))=x\) получаем \(c^2=1\), а возрастание даёт \(c=1\). Ответ: \(f(x)=x\).
Сильная смешанная задача на несколько модулей.