Задача
ALG-B3-M10-P017 Параметрическое Jensen-уравнение
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все непрерывные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2a y^2\).
Вычтите \(a x^2\).
Положим \(g(x)=f(x)-a x^2\). Тогда \(g(x+y)+g(x-y)=2g(x)\). Непрерывные решения этого уравнения аффинны: \(g(x)=cx+d\). Поэтому \(f(x)=a x^2+cx+d\). Проверка прямая.
Параметрическая версия второго разностного уравнения.