Задача
ALG-B2-M08-P019 Двойные знаменатели треугольника
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Для сторон треугольника докажите \[\frac{a^2}{(b+c-a)(c+a-b)}+\frac{b^2}{(c+a-b)(a+b-c)}+\frac{c^2}{(a+b-c)(b+c-a)}\ge3.\]
Подсказка. Используйте \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\), затем оцените каждую дробь через одно отношение.
Тогда \(b+c-a=2x\), \(c+a-b=2y\), \(a+b-c=2z\). Первая дробь равна \(\frac{(y+z)^2}{4xy}\ge\frac{z}{x}\), потому что \((y+z)^2\ge4yz\). Аналогично вторая дробь не меньше \(\frac{x}{y}\), третья не меньше \(\frac{y}{z}\). Поэтому вся сумма не меньше \(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.