Задача
ALG-B2-M08-P018 Треугольная сумма отношений
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Для сторон треугольника докажите \[\frac{a^2}{(b+c-a)^2}+\frac{b^2}{(c+a-b)^2}+\frac{c^2}{(a+b-c)^2}\ge3.\]
Подсказка. Сначала докажите более сильное \(\sum \frac{a}{b+c-a}\ge3\), затем примените Cauchy или AM-GM.
Обозначим \(u=\frac{a}{b+c-a}\), \(v=\frac{b}{c+a-b}\), \(w=\frac{c}{a+b-c}\). По задаче 6, \(u+v+w\ge3\). Тогда \(u^2+v^2+w^2\ge\frac{(u+v+w)^2}{3}\ge3\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.