Задача
ALG-B2-M08-P020 Выберите замену сами
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3+\frac{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2}{2}.\]
Подсказка. Используйте касательную \(\sqrt{t}\le 1+\frac{t-1}{2}\), затем заметите, что добавлен неотрицательный запас.
Для \(t\ge0\) вогнутость корня даёт \(\sqrt{t}\le1+\frac{t-1}{2}\). Складывая для \(a,b,c\), получаем \(\sum\sqrt{a}\le3+\frac{a+b+c-3}{2}=3\). Правая часть задачи равна \(3+\frac12\sum(a-1)^2\ge3\), поэтому требуемое верно. Случай равенства \(a=b=c=1\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.