Задача
ALG-B2-M08-P017 Отклонения и квадраты
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2= a^2+b^2+c^2-3.\]
Подсказка. Положите \(a=1+x\), \(b=1+y\), \(c=1+z\), \(x+y+z=0\).
После замены левая часть равна \(x^2+y^2+z^2\). Правая часть: \(\sum(1+x)^2-3=3+2(x+y+z)+x^2+y^2+z^2-3=x^2+y^2+z^2\). Тождество доказано.
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.