Задача
ALG-B2-M08-P015 Квадраты циклических отношений
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}.\]
Подсказка. Положите \(x=a/b\), \(y=b/c\), \(z=c/a\), тогда \(xyz=1\).
После замены нужно доказать \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\). Это верно, так как \(\frac12((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge0\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.