Задача
ALG-B2-M08-P014 Сильная треугольная дробь
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Для сторон треугольника докажите \[\frac{b+c}{b+c-a}+\frac{c+a}{c+a-b}+\frac{a+b}{a+b-c}\ge6.\]
Подсказка. После треугольной замены первая дробь равна \(\frac{2x+y+z}{2x}\).
Пусть \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\). Тогда сумма равна \(\sum\left(1+\frac{y+z}{2x}\right)=3+\frac12\sum\frac{y+z}{x}\). Как в примере, \(\sum\frac{y+z}{x}\ge6\). Значит, сумма не меньше \(6\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.