Задача
ALG-B2-M08-P012 Сумма равна единице
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a+b+c=1\). Положите \(a=\frac13+x\), \(b=\frac13+y\), \(c=\frac13+z\). Докажите \(ab+bc+ca\le\frac13\).
Подсказка. После замены \(x+y+z=0\).
Так как \(x+y+z=0\), получаем \(ab+bc+ca=\frac13+xy+yz+zx\). Но \(xy+yz+zx=-\frac12(x^2+y^2+z^2)\le0\). Значит, \(ab+bc+ca\le1/3\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.