Задача
ALG-B2-M08-P009 Сумма попарных корней
#9
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c.\]
Подсказка. Положите \(a=x^2\), \(b=y^2\), \(c=z^2\).
После замены нужно доказать \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\). Это равносильно \(\frac12((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge0\).
Методическая цель: распознать подходящую замену и проверить область определения.