Задача
ALG-B1-M09-P023 Квадраты вокруг центра
#23
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2+y^2=3(x+y)\).
Умножьте на \(4\) и выделите квадраты \(2x-3\), \(2y-3\).
Умножим на \(4\): \(4x^2-12x+4y^2-12y=0\). Тогда \((2x-3)^2+(2y-3)^2=18\).
Квадраты нечётных чисел, сумма которых \(18\), могут быть только \(9\) и \(9\). Значит, \(2x-3=\pm3\), \(2y-3=\pm3\). Отсюда \(x,y\in\{0,3\}\). Все решения: \((0,0),(0,3),(3,0),(3,3)\).
Сильная задача на полные квадраты и целочисленные остатки.