Задача
ALG-B1-M09-P024 Первый спуск Виета
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=5xy\) не имеет положительных целых решений.
Предположите минимальное решение и рассмотрите уравнение как квадратное относительно большей переменной.
Предположим, что положительное решение существует, и выберем его с минимальной суммой \(x+y\). Пусть \(x\ge y\). Если \(x=y\), то \(2x^2=5x^2\), невозможно. Значит, \(x>y\).
Рассмотрим \(X^2-5yX+y^2=0\). Один корень равен \(x\), второй по Виета равен \(x'=5y-x\), а произведение корней равно \(y^2\). Поэтому \(x'=\frac{y^2}{x}\), значит \(x'\) положителен и целый.
Так как \(x>y\), имеем \(0
Первое знакомство с архитектурой Виета-спуска, без тяжёлой теории.